СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть А – линейный оператор из . Число называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор такой, что А . При этом вектор называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению . Множество всех собственных значений линейного оператора А называется егоспектром .

Определителем линейного оператора А detА называется detА , где А – матрица линейного оператора А в любом базисе. Многочлен относительно l называется характеристическим многочленом оператора А. Он не зависит от выбора базиса.

Уравнение

называется характеристическим (или вековым ) уравнением оператора А.

Для того чтобы число l было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (7.7) оператора А.

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным единице). Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю). Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего n линейно независимых векторов.

Теорема 7.2 . Для того чтобы матрица А линейного оператора А в базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Однако далеко не каждый линейный оператор в n -мерном векторном пространстве имеет n линейно независимых собственных векторов. Базис из собственных векторов принято называть «собственным базисом». Пусть собственные значения линейного оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, «собственный базис» в этом случае существует.

Итак, если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица А оператора А имеет диагональный вид.

При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т.е. если некоторый вектор - собственный вектор, то и вектор - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании.

Характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы как 1) , где –единичная матрица одинакового с порядка.

Пример. Для :

Теорема.

Образно говоря, коэффициент при получается суммированием всех миноров -го порядка матрицы , построенных на элементах ее главной диагонали.

Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А , т.е. все матрицы видаА*= Т -1 АТ , гдеТ – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем| A |=| A *|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

,

которая образована из А заменой диагональных элементовa ij элементами
, где– произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент приравен (-1) n). Многочлен
называется характеристическим многочленом матрицыА .

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , гдеА*=Т -1 АТ .

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т -1 ЕТ . Тогда, заменяя в матрице
матрицыА* иЕ соответственно наТ -1 АТ иТ -1 ЕТ , получаем:

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен
.

Алгебраическое уравнение n -й степени
называется характеристическим уравнением матрицыА , а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – следk -го порядка матрицыА .

Следом k -го порядканазывается сумма возможных
главных миноровk -ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней
. Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А :

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А :

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов
характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный операторзадан матрицейА . Тогда коэффициентывычисляются по следующей схеме:

Пример. Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

или откуда– собственные значения линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

Элементами матрицы В являются многочлены отстепени не выше (n -1 ). Поэтому матрицуВ можно представить в следующем виде:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на
и сложим полученные результаты:

откуда следует, что
. Теорема доказана.

Пример. Линейный операторзадан матрицей

.

Найти
и показать, что
.

Решение. Составим матрицу

Многочлен
имеет вид

.

6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора

Пусть в пространстве задан линейный оператор.

Определение. Ненулевой вектор
, удовлетворяющий соотношению
, называется собственным вектором, а соответствующее число– собственным значением оператора.

Из данного определения следует, что образом собственного вектора является коллинеарный ему вектор
.

Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора .

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число. Предположим обратное: пусть собственному вектору операторасоответствуют два собственных числа
. Это значит, что

,

.

Но отсюда следует, что

Так как по условию – ненулевой вектор, то
.

2. Если и– собственные векторы операторас одним и тем же собственным числом, то их сумма
также является собственным вектором операторас собственным числом. Действительно, так как
и
, то

3. Если – собственный вектор операторас собственным числом, то любой вектор
, коллинеарный вектору, также является собственным вектором операторас тем же самым собственным числом.

Действительно,

Таким образом, каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов оператора, соответствующих одному и тому же собственному числу, образует пространство, которое является подпространством пространства.

Докажем теорему о существовании собственного вектора.

Теорема. В комплексном линейном пространствекаждый линейный операторимеет, по крайней мере, один собственный вектор.

Доказательство. Пусть – линейный оператор, заданный в пространстве, а–собственный вектор этого оператора с собственным числом, т.е.
. Выберем произвольный базис
и обозначим координаты векторав этом базисе через
. Тогда, если
– матрица операторав базисе
, то, записывая соотношение в матричной форме, получим

где .

В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид

Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда
. Отсюда следует, что собственное число линейного оператораявляется его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа линейного оператора и соответствующего ему собственного векторасводится к решению характеристического уравнения
. Пусть
– различные корни характеристического уравнения. Подставив какой-нибудь кореньв систему (6.3.2), найдем все ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу. Если ранг матрицы
равенr иr < n , то существуетk = n - r линейно независимых собственных векторов, отвечающих корню.

Пример. Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

,

или
откуда
.

Подставляем корни
в систему (6.3.1). Найдем собственные векторы оператора.

При
имеем

.

Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид
. Найдем два линейно независимых решения:

Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям
, имеют вид

,

где с – произвольное действительное число, отличное от нуля.

При
имеем

.

Общее решение данной системы имеет вид

Собственный вектор, соответствующий собственному значению
, равен

.

Теорема. Пусть собственные значения
операторапопарно различны. Тогда отвечающие им собственные векторы
линейно независимы.

Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как– ненулевой вектор, то приp =1 утверждение теоремы справедливо.

Пусть утверждение теоремы справедливо для m < p векторов
. Присоединим к этим векторам вектор
и допустим, что имеет место равенство

Так как
, -собственные векторы, то
и поэтому равенство (6.3.4) можно переписать следующим образом:

По условию все
, различны, поэтому
. Система векторов
– линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что. Тогда из (6.3.3) и из условия, что
– собственный вектор (
), получаем
. Это означает, что
– система линейно независимых векторов. Индукция проведена. Теорема доказана.

Следствие: если все собственные значения
попарно различны, то отвечающие им собственные векторы
образуют базис пространства.

Теорема. Если в качестве базиса пространствапринятьn линейно независимых собственных векторов, то операторув этом базисе соответствует диагональная матрица

.

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор
и базис, составленный из собственных векторов
этого пространства. Тогда, где
– координаты векторав базисе
.

Применяя к вектору оператор, получим
или
.

Так как
, – собственный вектор, то
.

Из (6.3.7) имеем

, , .

Равенства (6.3.8) означают, что матрица линейного оператора в базисе
имеет вид

.

Теорема доказана.

Определение. Линейный операторв пространствеR n называется оператором простой структуры, если он имеетn линейно независимых собственных векторов.

Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных векторов оператора . Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к «растяжению» координат вектора в данном базисе.

www.сайт позволяет найти . Сайт производит вычисление . За неколько секунд сервер выдаст правильное решение. Характеристическим уравнение для матрицы будет являться алгебраическое выражение, найденное по правилу вычисления определителя матрицы матрицы , при этом по главной диагонали будут стоять разницы значений диагональных элементов и переменной. При вычислении характеристического уравнения для матрицы онлайн , каждый элемент матрицы будет перемножаться с соответствующими другими элементами матрицы . Найти в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы . Операция нахождения характеристического уравнения для матрицы онлайн сводится к вычислению алгебраической суммы произведения элементов матрицы как результат от нахождения определителя матрицы , только с целью определения характеристического уравнения для матрицы онлайн . Данная операция занимает особое место в теории матриц , позволяет найти собственные числа и векторы, используя корни . Задача по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн заключается в перемножении элементов матрицы с последующим суммированием этих произведений по определенному правилу. www.сайт находит характеристическое уравнение для матрицы заданной размерности в режиме онлайн . Вычисление характеристического уравнения для матрицы онлайн при заданной её размерности - это нахождение многочлена с числовыми или символьными коэффициентами, найденного по правилу вычисления определителя матрицы - как сумма произведений соответствующих элементов матрицы , только с целью определения характеристического уравнения для матрицы онлайн . Нахождение полинома относительно переменной для квадратной матрицы , как определение характеристического уравнения для матрицы , распространено в теории матриц . Значение корней многочлена характеристического уравнения для матрицы онлайн используется для определения собственных векторов и собственных чисел для матрицы . При этом, если определитель матрицы будет равен нулю, то характеристическое уравнение матрицы все равно будет существовать, в отличии от обратной матрицы . Для того, чтобы вычислить характеристическое уравнение для матрицы или найти сразу для нескольких матриц характеристические уравнения , необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет характеристическое уравнение для матрицы онлайн . При этом ответ по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении характеристического уравнения для матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть характеристическое уравнение для матрицы онлайн может быть представлено в общем символьном виде при вычислении характеристического уравнения матрицы онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции вычисления полинома - характеристического уравнения матрицы , необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему характеристическое уравнение матрицы онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении характеристического уравнения для матрицы онлайн .

Пусть дана квадратная матрица порядка n . Характеристической матрицей матрицы A называют матрицу

= с переменной λ, принимающей любые числовые значения.

Определитель ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> матрицы является многочленом n -й степени от λ. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А , уравнение =0 – её характеристическим уравнением, а его корни https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> называется всякий ненулевой вектор Х , удовлетворяющий условию https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> – число.

Число называется собственным значением преобразования https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75">(*)

Если известно собственное значение λ , то все собственные векторы матрицы А , принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения этой системы. С другой стороны, эта однородная система с квадратной матрицей А–λЕ имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю и λ принадлежит рассматриваемому полю Р . Но это означает, что λ является корнем характеристического многочлена и принадлежит полю Р . Таким образом, характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, и только они, являются её собственными значениями. Для отыскания всех собственных значений матрицы А нужно найти все её характеристические числа и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р , а для отыскания всех собственных векторов матрицы А нужно найти все ненулевые решения системы (*) при каждом собственном значении λ матрицы А .

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы действительной матрицы .

Решение. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (1)-м столбцом) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(домножим (1)-й столбец на число (-1) и сложим с (3)-м столбцом) ==(домножим (1)-ю строку на число (2) и сложим со (2)-й строкой) ==(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (3)-м столбцом) =
.

Таким образом, характеристический многочлен имеет корни λ1=6, λ2=λ3= – 3. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А .

При λ=6 система (А–λЕ)Х=0 имеет вид https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src=">.

Её общим решением является Х =https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, оно даёт общий вид собственных векторов матрицы А , принадлежащих собственному значению λ= – 3.

Продолжим изучение линейных операторов. Нам уже известно, что с каждым оператором A связана квадратная матрица , с которой, в свою очередь, связан ее определитель . Значение определителя есть скаляр (число). Следовательно, является функцией, ставящей в соответствие оператору A скаляр. Поэтому изучение свойств определителя может упростить исследование свойств оператора.

Определение .Скаляр l называется собственным числом (собственным значением), а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного оператора A, действующего в n -мерном векторном пространстве L , если

Рассматривая как вектор , любой вектор , , коллинеарный x, будет собственным вектором с собственным числом l . Если собственному значению l соответствует два вектора, x и y , то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида . Поскольку 0-вектор не является собственным, то множество M всех собственных векторов оператора A не является подпространством. Если же M дополнить 0-вектором, то M станет подпространством. Кратностью собственного значения l называется размерность подпространства M ; собственное значение l называется простым , если его кратность равна 1.

Упражнение. Найти все собственные числа и векторы операторов нулевого - О и тождественного – E. Определить их кратность, если линейный оператор действует в n -мерном линейном пространстве.

Теорема VI.1. Семейство собственных векторов оператора A, соответствующих аналогичному семейству собственных значений , , линейно независимо.

Доказательство . Применим метод математической индукции. При теорема верна по определению собственного вектора, как отличного от нулевого.

Пусть при любом , например, при , теорема верна, но неверна при . Тогда, если система векторов , , …, , будет линейно зависимой, то есть существуют числа , , не все равные 0, например, , что выполняется

Применяя к ней линейный оператор A, с учетом (VI.5), получим,

Умножая (VI.6) на и вычитая из (VI.7), будем иметь

Полученная линейная комбинация в силу индуктивного предположения линейно независима, то есть все коэффициенты при равны 0, в том числе и ,но, по предположению, , тогда , но тогда , что невозможно, по условию теоремы. ▼

Следствие. Линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n попарно различных собственных значений.

Из определения собственного вектора линейного оператора следует, что образ и прообраз x – коллинеарны. Это означает, что не каждый линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем действительных чисел, имеет хотя бы один собственный вектор. Например, при любом повороте осей на угол, не кратный p , мы не получим коллинеарных векторов.

Перейдем к выводу уравнения, которому удовлетворяют все собственные векторы.

Пусть линейный оператор действует в n -мерном действительном линейном пространстве L и пусть , , некоторый базис, наконец – матрица оператора A в этом базисе. Линейный оператор является вырожденным тогда и только тогда, когда будет вырождена его матрица , то есть . Отсюда заключаем, что кратность l совпадает с дефектом линейного оператора .

Заметим, что, если B любой обратимый оператор, то можно показать , что

то есть тогда и только тогда, когда , где . Это означает, что все спектральные понятия (спектр, собственные значения, кратность, размерность и т.д.) инвариантны относительно замены A на подобный оператор . Учитывая что, по определению, определитель – это многочлен своих элементов, получаем

,

где коэффициенты являются функциями элементов определителя (или матрицы) и не зависят от l . Максимальная степень l входит лишь в один член определителя, составленного из произведения его элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому . Таким образом, получаем многочлен

Раскрывая определитель, имеем

который называется характеристическим многочленом оператора A в вещественном линейном пространстве L .

Для того, чтобы число было собственным значением оператора A необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению , то есть, было бы корнем характеристического многочлена.

Пример VI.6. Является ли совпадение характеристических многочленов признаком равенства операторов?