2.2. Методы самоконтроля состояния здоровья

и физического развития (стандарты, индексы,

программы, формулы, номограммы)

2.2.1. Антропометрические измерения: понятия, виды, показатели

Сегодня существует более 300 вариантов определения понятия «здоровье»: одни характеризуют здоровье как отсутствие болезней, другие - как способность сохранять равновесие между организмом и постоянно меняющейся внешней и внутренней средой, третьи - как гармоничное физическое развитие. В настоящее время широкое распространение получило определение здоровья, данное в уставе Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ).

Здоровье - динамическое состояние физического, духовного и социального благополучия, обеспечивающее полноценное выполнение че­ловеком трудовых, психических и биологических функций при максималь­ной продолжительности жизни.

Физическое развитие - процесс изменения и совершенствования естественных морфологических и функциональных свойств организма человека (длина, масса тела, окружность грудной клетки, жизненная емкость легких и др.) в течение его жизни. Физическое развитие управляемо. С помощью физических упражнений, различных видов спорта, рационального питания, режима труда и отдыха можно изменять в необходимом направлении различные показатели физического развития.

Самоконтроль - регулярные наблюдения занимающегося физическими упражнениями и спортом за состоянием своего здоровья, физического развития и физической подготовленно­сти с помощью простых, общедоступных приемов.

Метод антропометрических стандартов - использование средних величин признаков физического развития, полученных путем статистической обработки большого числа измерений однородного контингента людей.

Метод индексов позволяет оценивать физическое развитие по отношению отдельных антропометрических признаков с помощью простейших математических выражений.

Номограмма - график геометрических величин, применяе­мый при различных расчетах.

Формула - математическое выражение зависимости отдель­ных антропометрических или функциональных показателей для расчета стандартов, индексов, номограмм и пр.

2.2.2. Антропометрические измерения

Антропометрические измерения дают возможность определять уровень и особенности физического развития, степень его соответствия полу и возрасту, имеющиеся отклонения, а также уровень улучшения физического развития под воздействием занятий физическими упражнениями и различными видами спорта.

Антропометрические измерения следует проводить периодически в одно и то же время суток, по общепринятой методике, с использованием специальных стандартных проверенных инструментов.

При массовых обследованиях и проведении самоконтроля измеряются длина тела (рост) стоя и сидя, вес, окружность грудной клетки, жизненная емкость легких, сила кисти сильнейшей руки, становая сила.

Рост (длина тела) измеряется ростометром (в домашних условиях сантиметровой линейкой у стены). При измерении роста стоят спиной к вертикальной стойке (стене), касаясь пятками, ягодицами, лопатками и затылком (рис. 2.2.1). Наибольшая длина тела наблюдается утром. Вечером, а также после интенсивных занятий физическими упражнениями рост может уменьшиться на 2 см и более. После упражнений с отягощениями и штангой длина тела может уменьшиться на 3 см и более из-за уплотнения межпозвоночных дисков. Длина тела уменьшается за счет уплотнений межпозвоночных дисков, утомления мышц туловища, от уплощения сводов стопы. Точность измерений составляет 0,5 см.

Вес тела . При определении веса исследуемый должен стоять неподвижно на середине площадки весов. Контроль за весом тела целесообразно проводить утром, натощак. Показатель веса фиксируется с точностью до 50 г.

Есть разные способы определения нормального веса. Чтобы узнать каким должен быть нормальный вес человека, нужно из величины роста, выраженного в сантиметрах, вычесть определенное число (формула Брока-Брукша):

от 155 до 165 см вычитается 100;

о

Рис. 2.2.1. Техника измерения роста стоя и сидя

т 166 до 175 см вычитается 105;

от 176 см и выше вычитается 110.

Увеличение массы на 10 % сверх нормы характеризуется как склонность к ожирению.

Для более точной оценки массы тела применяют весо-ростовой индекс Кетле: вес (г), деленный на рост (см). Средний показатель - 370–400 г на 1 см роста у мужчин, 325–375 - у женщин.

Окружность грудной клетки измеряется в трех фазах: во время обычного спокойного дыхания (пауза), максимального вдоха и максимального выдоха (рис. 2.2.2). Исследуемый разводит руки в стороны. Сантиметровую ленту накладывают так, чтобы сзади она проходила под нижними углами лопаток, спереди у мужчин по нижнему сегменту сосков, а у женщин - над молочной железой, в месте перехода кожи с грудной клетки на железу. После наложения ленты исследуемый опускает руки. При измерении максимального вдоха не следует напрягать мышцы и поднимать плечи, а при максимальном выдохе - сутулиться.

Экскурсия грудной клетки - разница между величинами окружностей при вдохе и выдохе. Она зависит от морфоструктурного развития грудной клетки, ее подвижности, типа дыхания. Средняя величина экскурсии обычно колеблется в пределах 5–7 см.

Рис. 2.2.2. Техника измерения окружности грудной клетки

Жизненная емкость легких (ЖЕЛ) измеряется на водяном или сухом спирометрах (рис. 2.2.3). Рекомендуется выполнить 2–3 попытки. Измерения ЖЕЛ необходимо проводить до приема пищи в одно и то же время суток.

Измерение ЖЕЛ (спирометрия) - хороший метод определе­ния функции аппарата внешнего дыхания человека. Средние показатели ЖЕЛ для мужчин - 3500–4000 см 3 , для женщин - 2500–3000 см 3 . У спортсменов, особенно у пловцов, лыжников, гребцов, бегунов-стайеров, жизненная емкость легких может достигать 5000-9000 см 3 . Величина ЖЕЛ зависит от роста и массы тела, поэтому для определения соответствия измеренного индивидуального показателя норме часто пользуются таблицами «должных» величин ЖЕЛ, рассчитанными по формулам, учиты­вающим массу тела, рост и другие показатели физического раз­вития человека.

Кистевая динамометрия - метод определения силы мышц сгибателей кисти. Динамометр берут в руку циферблатом внутрь. Руку вытягивают в сторону на уровне плеча и максимально сжимают динамометр. Проводятся по два-три измерения на каждой руке, фиксируется лучший результат. Средние показатели силы правой кисти (если человек правша) у мужчин - 35–50 кг, у женщин - 15–25 кг; средние показатели силы левой кисти обычно на 5–7 кг меньше.

О

Рис. 2.2.3. Внешний вид

сухого спирометра

ценивая резуль­таты динамометрии, следует учитывать как абсолютную величину силы, так и соотнесенную с весом тела. Относительная величина мышечной силы будет более объективным показателем, потому что рост силы в процессе тренировки в значительной мере связан с увеличением веса тела и мышечной массы.

Поэтому при оценке результатов динамометрии важно учитывать основной показатель силы и соотнесенный с массой тела, т. е. относительную силу (выражается в процентах). При этом показатель силы правой руки умножается на 100 и делится на показатель массы тела. Для нетренированных молодых мужчин этот показатель сос­тавляет 60–70 % от веса тела, для женщин - 45–50 %. Например, сила правой руки (кисти) равна 52 кг, вес тела - 76 кг. Для определения относительной величины си­лы кисти надо 52 умножить на I00 и разделить на 76. Относительная сила кисти в данном случае составляет 68,4 %, т. е. находится в пределах средних величин.

Оценивая мышечную силу при самоконтроле, следует учитывать, что в течение дня показатели силы изменяются. Так, наименьшая величина их бывает утром, наибольшая - к середине дня. К концу дня, в особенности после утомительной тренировки, мышечная сила падает. Поэтому определять силу нужно в одно и то же время, луч­ше утром перед началом тренировки. Неполное восстановление мы­шечной силы на другой день после занятия говорит о чрезмерности нагрузки. Снижение ее может наблюдаться также при недомогании, нарушении режима, ухудшении настроения и т. д.

Становая динамометрия - метод определения силы мышц-разгибателей туловища, измеряется с помощью станового динамометра (рис. 2.2.4). Исследуемый становится на площадку со специальной тягой так, чтобы 2/3 каждой подошвы находились на металлической основе. Ноги вместе, выпрямлены, туловище наклонено вперед. Цепь закрепляется за крюк так, чтобы руки находились на уровне колен. Исследуемый, не сгибая ног и рук, должен медленно разогнуться, вытянув тягу. Становая сила взрослых мужчин в среднем равна 120–130 кг, женщин - 55–65 кг.

Показатель относительной силы определяется, как и при кис­тевой динамометрии:

х 100 = Относительная сила

Становая сила

Масса тела

Рис. 2.2.4. Становая динамометрия

В среднем он составляет 180–240 %. Величина относительной силы менее 170% считается низкой, 170–200 % - ниже средней, 200–230 % - средней, 230–250 % - выше средней, более 260 % - высокой.

Номографией (от греческого nomas - «закон», yrapho - «пишу») называется область вычислительной математики, в которой развивается теория построения номограмм особых чертежей, служащих для расчета по данным формулам или для решения различных уравнений. Искомое значение величины или действительный корень уравнения можно отыскать непосредственно на самой номограмме, прикладывая линейку к определенным ее точкам.

Номограмма, таким образом, является готовым инструментом для проведения расчетов.

Обыкновенная линейка обладает тем свойством, что деления на ней составляют равномерную шкалу. Для решения ряда задач номографии приходится расширить понятие о шкале. Пусть нам дана некоторая функция . Возьмем прямую линию и будем откладывать на ней от некоторой фиксированной точки значения нашей функции, соответствующие различным значениям аргумента , и в конце каждого из полученных отрезков поставим пометку, равную тому значению , для которого получен этот отрезок. Нанесенные таким образом пометки уже не будут распределяться на прямой равномерно, их расположение зависит от выбранной функции . Эта прямая с нанесенными делениями называется функциональной шкалой. На рис. 1 показана функциональная шкала для функции .

Простейшим приложением функциональной шкалы является использование ее для вычисления значений функции при разных значениях аргумента. Возьмем две шкалы: одну функциональную, другую равномерную, построенные в одном и том же масштабе. Приложим обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки совпадали. Если теперь взять на функциональной шкале точку с пометкой , то пометка равномерной шкалы, лежащая против взятой пометки , в точности дает значение функции . Обратно, зная значение функции, можно найти значение аргумента; для этого нужно найти соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать соответствующую пометку функциональной шкалы. Такое соединение двух шкал является простейшей номограммой и называется двойной шкалой (рис. 2). Одно из ее главнейших применений - логарифмическая (счетная) линейка. В инженерной практике используется также логарифмическая (полулогарифмическая) бумага, где обе оси (или одна ось) являются логарифмическими функциональными шкалами.

На рис. 3 изображена номограмма для уравнения , которая состоит из трех определенным образом расположенных равномерных шкал. Прикладывая линейку к двум пометкам на разных лучах, отвечающих, например, заданным значениям и , по номограмме находим значение (на рис. 3 значение , a и тем самым ). Разобранный пример демонстрирует нам новый тип номограмм - номограмму из выровненных точек. Такое название объясняется тем, что точки на номограмме, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат на одной прямой.

На рис. 4 изображена номограмма из выровненных точек для приближенного отыскания положительных корней уравнения . Она состоит из двух равномерных и одной неравномерной шкал. Если при помощи этой номограммы нам нужно приближенно найти положительный корень уравнения , нужно на оси взять точку с пометкой , на оси - точку с пометкой и провести прямую . Каждая точка пересечения (их может быть не больше двух) с криволинейной шкалой дает приближенное значение положительного корня заданного уравнения (на рис. 4 - случай , ). Построенная прямая может пересекаться с кривой в двух точках (оба корня положительны), в одной точке (второй корень отрицателен), может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Для получения отрицательных корней уравнения надо, сделав замену переменной , искать по той же номограмме положительные корни уже уравнения . Если значения коэффициентов и по модулю превосходят 12,6 (на рис. 4 предполагается , ), то следует сделать замену переменной и перейти от уравнения к уравнению

;

число выбирается таким образом, чтобы числа и были уже в указанных выше пределах. В случае, если оба корня уравнения близки к нулю, также выгодно сделать замену переменной . Так, для уравнения значения корней по номограмме найти трудно. Положив , получим уравнение ; его корни ; , откуда , .

Как в практическом, так и теоретическом плане значительный интерес представляют сетчатые номограммы. На рис. 5 показана такая номограмма для приближенного решения уравнений вида . Она состоит из семейства прямых линий с некоторыми пометками, касающихся параболы

Пользуются этой номограммой следующим образом. Каждому уравнению однозначно ставится в соответствие точка плоскости , и в зависимости от расположения ее по отношению к «сетке» приближенно определяются корни соответствующего уравнения. Если точка попадает внутрь параболы, т.е. если

то уравнение не имеет (действительных) корней. В случае, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, точка лежит во внешней области параболы . Если , т. е. точка лежит на параболе, то уравнение имеет два совпадающих корня. Решим, например, уравнение . Через точку проходят на номограмме две прямые с пометками и ; тем самым числа и являются корнями нашего уравнения.. Корни уравнения также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения искомых корней:

; .

Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями соответствует точка , лежащая на этой параболе.

Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.

Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.

Номография

Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. Разработка теории номографических построений началась в XIX веке. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Л. К. Лаланном (1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань (фр.) (1884-1891) - в его же работах впервые появился термин «номограмма », установленный для применения в 1890 году Международным математическим конгрессом в Париже. Первым в России в этой области работал Н. М. Герсеванов (1906-1908), затем, создавший советскую номографическую школу, Н. А. Глаголев .

Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие номограммы:

из выравненных точек	Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой - отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии - раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм.
сетчатые	Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие так называемые разрешающие индексы номограммы : окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д.
транспарантные	В простейшем случае состоит из двух плоскостей: основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы - логарифмическая линейка .

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.

Для уравнений со многими переменными применяются составные номограммы, состоящие из номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий.

См. также

Литература

• Номография - статья из Большой советской энциклопедии

Ссылки

• Java Applet (англ.) для создания простейших номограмм.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Номограмма" в других словарях:

Номограмма … Орфографический словарь-справочник

Номограмма - особый график, позволяющий не вычислять значение к. л. величины по формулам, а узнавать это значение, наложив на Н. линейку и сделав засечку циркулем. См. пример Н.: Номограмма для нахождения квадратов чисел от 1 до 10. Показано 8,52 = 72,25 … Издательский словарь-справочник

График, номография Словарь русских синонимов. номограмма сущ., кол во синонимов: 2 график (17) … Словарь синонимов

номограмма - Чертеж, позволяющий заменять вычисление по формулам выполнением простейших геометрических построений, по которым с помощью ключа считываются ответы. [ГОСТ Р 7.0.3 2006] номограмма [Лугинский Я. Н. и др. Англо русский словарь по электротехнике и… … Справочник технического переводчика

График, позволяющий определить результат вычислений графическим путем, без дополнительных расчетов, с помощью специальных таблиц, представляющих собой значения переменных и результирующей величины. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

- (от греческого nomos закон и...грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений.… … Современная энциклопедия

См. в ст. Номография … Большой Энциклопедический словарь

НОМОГРАММА, номограммы, жен. (от греч. nomos закон и gramma мера веса) (мат.). График геометрических величин, применяемый при различных расчетах. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

- (Nomogram, nomograph) графическое отображение в числовых пометках математического выражения, позволяющее во много раз сократить вычислительную работу. Н. применимы всюду, где не требуется большой точности расчетов, и предохраняют от случайных… … Морской словарь

Чертеж, изображающий функциональную зависимость между несколькими переменными величинами. Каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значении переменных в этой области изображено на нем определенным геометрическим… … Геологическая энциклопедия

- (от греч. nomos закон, порядок и grapho пишу) англ. nomogram/nomograph; нем. Nomogrатт. Чертеж, изображающий функциональную зависимость между величинами, дающий возможность без вычислений найти значение одной переменной по данным значениям… … Энциклопедия социологии

Книги

• Сборник номограмм для химико-технологических расчетов , А. К. Чернышев, К. Л. Поплавский, Н. Д. Заичко. В сборнике приведено 225 номограмм и диаграмм, с помощью которых можно быстро и достаточно точно определить основные характеристики различных веществ (коэффициентывязкости, теплопроводности,…

1. Построение номограммы зависимости P z= f (t, S).

Зависимость силы P z от глубины t и подачи S выражается формулой:

P z = 10С pzt x pz S y pz V n K pz ,Н

Значения С pz , X pz , Y pz , K pz выбираем по таблицам общемашиностроительных нормативов или соответствующим таблицам (2) также, как и при аналитическом методе расчета режима резания; С pz = 300 ; X pz = 1; Y pz = 0.75; K pz = 0,8.

Задаваясь различными значениями глубины (при S = 1 мм/об), будем иметь различные значения силы:

, Н;

t,мм	0,5		1,5		2,5		3,5
P z , Н
lgP z	2.079	2.38	2.556	2.681	2.778	2.857	2.924	2.982

На оси ординат откладываем значение силы P z , на оси абсцисс – значения подачи S. P zmax берем из условия прочности станка:

, Q м.п = 6000 Н (по паспорту станка 16К20);

Н;

P zmin рассчитываем, считая, что наименьшая глубина резания будет примерно 0,5 мм, а наименьшая подача (по станку) – 0,07 мм/об.

P zmin =10 300 0,5 0,07 0,075 0,8 = 163 Н.

Принимаемый диапазон сил: 200 – 15000 Н.

Диапазон подач берем по станку: 0,07 – 4,16 мм/об. На линии ординат (при S = 1 мм/об) откладываем значения полученных сил и через соответствующие точки проводим прямые линии под углом α = 37 (tg α = Y pz = 0,075).

При S = 0,195 P z = 190 Н

2. Построение номограммы зависимости v=f(t,s)

Зависимость скоростиV от глубины t и подачи s выражается формулой:

V=C v *K v /(T m *t x v *S y v) , м/мин

Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают скорость резания lgV, а по оси абсцисс – подачу lgS.

При постоянном значении глубины резания (C v K v /T m t x v =C)

V=C/S y v

После логарифмирования получим уравнения прямой линии, наклоненной к оси абсцисс под углом a 1 (tg a 1 =у V)

lg V=lgC-y v lgS

Для различных значений t получаем ряд прямых линий. При построении монограммы удобно принять S=1мм/об.

Задаваясь различными значениями глубины резания, имеем соответствующие им значения скорости резания:

t,мм	0,5		1,5		2,5		3,5
V , м/мин	93,93	84,657	79,66	76,3	73,8	71,8		68,76
lgV	1,973	1,928	1,9	1,883	1,87	1,86	1,85	1,84

Отложив на оси абсцисс S=1мм/об, проводим вертикальную линию и на ней наносим точки, соответствующие V 1 ,V 2 ,...V n . Через них проводим прямые линии под углом a 1 = 17 (tg a 1 =у V).

При S = 0,195 V = 69 м/мин

3. Построение номограммы зависимости v=f(D,n)

Зависимость скоростиV от диаметра заготовки D и числа оборотов n выражается формулой

V=pDn/1000 ,м/мин.

Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают скорость резания lgV, а по оси абсцисс – диаметр детали lgD.

Приняв pn/1000 = С , получим V=CD

После логарифмирования получим уравнение прямой, наклоненной к оси абсцисс под углом a 2 = 45º (tg45º = 1).

lgV = lgC+ 1lgD (46)

Для различных n получаем ряд прямых линий. При построении номограммы удобно принять D=100мм, тогда

V=pn/10 , м/мин. (47)

Подставляя в формулу различные значения чисел оборотов(по станку), получим соответствующие им значения скорости резания:

n,мм
V , м/мин	50,265	78,54	98,96	125,664	157,08	197,92	251,33	392,7
lgV	1,7	1,89	1,995	2,099	2,196	2,296	2,4	2,59

Отложив на оси абсцисс D = 100 мм, проведем вертикальную линию, на ней отметим точки, соответствующие значениям найденных скоростей (V 1 , V 2 , …,V n ). Через эти точки проведем линии под углом 45 0 к оси абсцисс.

При D = 100мм V = 79 м/мин

4.Посроение номограммы зависимости P z = f(M кр, D)

Зависимость P z (сила, допускаемая крутящим моментом станка - M кр) от M кр и D выражается уравнением

Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывается сила резания lgP z , по оси абсцисс – диаметр детали lgD.

Логарифмируя приведенную выше зависимость, получим

lgP z = lg(2·M кр) - 1·lgD

Это уравнение прямой линии, проведенное под углом 45 0 к оси абсцисс. Для различных значений крутящих моментов получим ряд прямых линий. При построении номограммы удобно принять

D = 100 мм, тогда

Подставляя в формулу различные значения крутящих моментов (для разных ступеней чисел оборотов станка), определяются соответствующие им значения P z:

М,Н*м
P z , Н	10,24	7,02	5,58	4,4	3,52	2,78	2,38	2,2
lgP z	1,01	0,846	0,747	0,643	0,547	0,444	0,377	0,342

Отложив на оси абсцисс D = 100 мм, проведем вертикальную линию, на которой отметим точки, соответствующие найденным значениям P z (P z 1, P z 2 , … , P zn).

Через эти точки проведем линии под углом 45 0 к оси абсцисс.

При D =100 Pz= 7 Н

5. Построение номограммы зависимости t 0 = f(n,S).

Зависимость основного времени t 0 от n и S выражается

где L – длина рабочего хода резца, мм.

Целесообразно строить номограмму для L = 100 мм (или другого постоянного значения, например, L = 10 мм). Номограмму строят в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают основное время lgt 0 , по оси абсцисс - подачу lgS.

Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В буквальном переводе это слово означает ² черчение закона² .

Своей задачей номография ставит построение специальных графиков - номограмм, служащих для решения различных уравнений. Номограммы дают возможность компактно представлять функции многих переменных и таблицы с несколькими входами. На номограммах можно решать некоторые трансцендентные уравнения и системы таких уравнений. Номограммы можно применять не только для вычислительных целей, но и для исследования положенных в их основу функциональных зависимостей.

Наглядность представления различных закономерностей и простота использования номограмм при достаточно высокой точности результата обеспечивают широкое использование номограмм в различных областях техники.

В основе номограмм лежит понятие функциональной шкалы (см. выше). На основе функциональных шкал создаются не только номограммы, но и различные вычислительные средства: универсальные вычислительные номограммы, логарифмические линейки и т.п.

В данной главе излагается один из возможных видов номограмм - номограммы в декартовой системе координат, имеющие достаточно широкое использование в машиностроении.

4.1. Номограммы в декартовой системе координат

В разделах 3.1., 3.2. описана процедура построения графиков для функции одного переменного. При этом на графике получается одна линия (прямая или кривая).

Если же изучаемая функция зависит от двух переменных

то придавая в этом уравнении, например, параметру y ряд частных (постоянных) значений y 1 , y 2 , ..., y n можно, как и для функции одного переменного, построить зависимости

Z = ¦ (х, y 1);

Z = ¦ (х, y 2);

...................

Z = ¦ (х, y n).

Получим систему кривых (в частном случае прямых), называемых номограммой из ² помеченных² линий, т.к. каждая линия помечается соответствующим значением y i .

Пример. При исследовании процесса фрезерования было установлено, что наиболее целесообразно величину радиального биения смежных зубьев фрезы назначать по условию обеспечения участия в процессе резания всех зубьев фрезы. Аналитически это условие выражается уравнением

где S z - расчетная величина подачи на зуб, мм/ зуб;

k = - параметр операции;

D - диаметр фрезы, мм;

t - глубина резания, мм;

D - величина биения смежных зубьев фрезы, мм.

Как видно, S z = ¦ (k, D) является функцией двух параметров. Здесь можно отметить, что, фактически S z = ¦ (D, t, D), т.е. функцией трех параметров, но два параметра (D, t) заменены одним - k = , легко определяемым и уменьшающим количество переменных. Данный прием широко используется в номографии.

Теперь необходимо определиться с осями и помеченным параметром. В качестве оси ординат, в соответствии с функциональной зависимостью, рационально принять S z . В качестве же оси абсцисс можно принять либо k, либо D . Если в качестве оси ординат принять k (а помеченным параметром D i), то зависимость

S z = ¦ (k, D i)

будет получаться криволинейной, в соответствии с закономерностью . Проще строить и использовать прямолинейные графики при равномерных шкалах. Поэтому стараются номограммы строить на основе прямых линий. Поэтому лучше будет строить номограмму из помеченных линий вида

S z = ¦ (D , K i),

где .

Теперь выбираем масштаб построения и диапазоны изменения переменных. С учетом условий процесса фрезерования принимаем D £ 0,08 мм; S z £ 0,20 мм/ зуб. Параметр k изменяем дискретно k = 2; 5; 10; 20; 30; 40; 50. Так как зависимость S z = ¦ (D , K i) является прямой линией, проходящей через начало координат, то для построения графиков достаточно вычислить только одно значение S z при каком - либо значении D . Например, для k = 2, при D = 0,06 мм имеем

(мм/зуб).

Теперь через точки (0; 0) и (0,06; 0,06) можно провести прямую линию и пометить ее параметр k = 2. Аналогично проводятся и другие линии. На номограмме наносится линия, показывающая порядок ее использования.

4.2. Составные номограммы с помеченными линиями

Номограмму в одной четверти можно построить для функции двух переменных. При большем числе переменных это сделать уже нельзя. В этом случае используют составные номограммы. Идею построения рассмотрим сначала в общем виде.

Пусть нам дано уравнение в неявном виде с четырьмя переменными

¦ (х, y, z, h) = 0.

Допустим, что его можно привести к виду

¦ 1 (х, y) = ¦ 2 (z, h),

т.е. можно разделить переменные. Положим

¦ 1 (х, y) = g ;

¦ 2 (z, h) = g .

Мы получим два уравнения, зависящих от двух переменных. Каждое из этих уравнений можно номографировать, как описано выше. Обеспечив отсчет величины g на одинаковой функциональной шкале, можно обойтись и без численных значений g (если они нас не интересуют по условиям решаемой задачи).

Аналогично поступают и с уравнениями с большим числом переменных, которое будет приводить к увеличению числа общих шкал и большему числу четвертей построения номограммы. Нужно только иметь в виду, что не всякое уравнение допускает разложение на несколько уравнений с двумя переменными и, следовательно, не всякое уравнение удается таким образом номографировать.

Рассмотрим реальный пример построения составной номограммы.

При исследовании процесса фрезерования было установлено, что сила резания при фрезеровании узких поверхностей приобретает характер повторяющихся импульсов не гармонической формы. И возмущение технологической системы осуществляется не на одной, а в бесконечном диапазоне частот. Наиболее опасно воздействие первых трех гармоник, несущих значительно больше энергии возмущения, чем все другие. Распределение энергии по этим трем гармоникам осуществляется в зависимости от отношения фронтов нарастания и спада силы в импульсе. Это отношение можно характеризовать отношением углов контакта фрезы (j) и зуба фрезы (y) с заготовкой. Причем всегда j ³ y .

Для наглядного представления и определения характера распределения энергии по трем гармоникам в зависимости от условий операции построим номограмму.

В одной из четвертей первоначально отражается характер распределения энергии по гармоникам возмущения в зависимости отj / y (рис. 15). Эти зависимости построены из результатов исследований, которые здесь не отражаются. Коэффициент Х 2 характеризует² удельный вес² энергии данной гармоники в общем силовом возмущении. Диапазон j / y = 1...9.

Теперь отношение j / y раскрываем в параметрах инструмента и операции

.

Видно, что здесь четыре переменных величины: D, t, B, w .

Введем промежуточную ось С и построим номограмму из помеченных линий для одной из переменных величин, а именно В i

Видно, что это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат. Задаваясь одним значением j / y и В i можно провести ее график. Например, при j / y = 5, В i = 5 получим С = 2× 5×5 = 50. Аналогично поступаем для В i = 10; 15; 20.

L = 50× tg 45° =50. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì и äëÿ äðóãèõ óãëîâ w i = 15° ; 30° ; 60° ; 75°. Проводим прямые линии через начало системы координат и помечаем значение угла w i каждой линии.

Таким образом осталась одна взаимосвязь параметров

.

Здесь необходимо определиться с параметром, направленном по оси и ² помеченным² параметром. В любом случае зависимость нелинейная. Кроме того, глубина резания является задаваемым параметром и его лучше взять в качестве ² помеченного²параметра. Для построения помеченных линий нужно определить несколько координат каждой линии.

Рассмотрим ² помеченную² линию t = 5 мм. В качестве переменного параметра принимаем диаметр фрезы D. При D = 25; 50; 100; 150; 200 мм соответственно имеем

По найденным точкам строится линия для t = 5 мм. Аналогично поступают и для других значений t.

Указаны промежуточные оси С, L, которые при использовании номограммы не нужны и могут не указываться, указаны и частные зависимости для каждой четверти номограммы.

Полученная номограмма наглядно показывает, что распределение энергии по гармоникам возмущения технологической системы определяется условиями операции, изменяя которые можно воздействовать на возмущение технологической системы.

Для исключения резонансных явлений необходимо знать спектр собственных частот системы и согласовывать условия операции с их значениями, уменьшая количество энергии на ² резонансной² частоте. Эти данные, как правило, отсутствуют. Поэтому используя номограмму можно скорректировать условия операции. Для этого по известным параметрам фрезы, которая показала неудовлетворительные результаты, и элементам режима резания необходимо определить распределение энергии по гармоникам возмущения и выбрать другое распределение. Так как глубину резания и ширину фрезерования изменять, как правило, невозможно, а изменение угла наклона режущей кромки часто нецелесообразно по условиям стойкости инструмента, то новое распределение энергии можно получить изменив диаметр фрезы (в большую или меньшую сторону по сравнению с первоначальным). При этом необходимо сохранить прежним относительное число зубьев (z/D) и скорость резания, так как число оборотов и зубьев фрезы играют самостоятельную роль в определении частотного диапазона возмущения (inz).

Как видно из изложенного, номограмма может существенно помогать в управлении процессом резания, на основе заложенных в нее функциональных зависимостей.

Контрольные вопросы

1. Сущность и назначение номографии;

2. Функцию какого числа переменных можно отразить в одной четверти декартовой системы координат?

3. Понятие номограммы из ² помеченных² линий;

4. Сущность составной номограммы и промежуточной функциональной шкалы.