Выигрышная стратегия. Нахождение выигрышной стратегии

На уроке рассмотрен разбор 26 задания ЕГЭ по информатике: дается подробное объяснение и решение задания 2017 года

26-е задание — «Теория игр, поиск выигрышной стратегии» — характеризуется, как задание высокого уровня сложности, время выполнения – примерно 30 минут, максимальный балл — 3

* Некоторые изображения и примеры страницы взяты из материалов презентации К. Полякова

Теория игр. Поиск выигрышной стратегии

Для решения 26 задания необходимо вспомнить следующие темы и понятия:

Выигрышная стратегия

для того чтобы найти выигрышную стратегию в несложных играх, достаточно использовать метод перебора всех возможных вариантов ходов игроков;
для решения задач 26 задания чаще всего для этого применяется метод построения деревьев ;
если от каждого узла дерева отходят две ветви, т.е. возможные варианты хода, то такое дерево называется двоичным (если из каждой позиции есть три варианта продолжения, дерево будет троичным).

Выигрышные и проигрышные позиции

все позиции в простых играх делятся на выигрышные и проигрышные;
выигрышная позиция – это такая позиция, в которой игрок, делающий первый ход, обязательно выиграет при любых действиях соперника, если не допустит ошибки; при этом говорят, что у данного игрока есть выигрышная стратегия – алгоритм выбора очередного хода, позволяющий ему выиграть;
если игрок, делающий первый ход, находится в проигрышной позиции , то он обязательно проиграет, если ошибку не сделает его оппонент; в этом случае говорят, что у данного игрока нет выигрышной стратегии ; таким образом, общая стратегия игры состоит в том, чтобы своим ходом создать проигрышную позицию для оппонента;
выигрышные и проигрышные позиции характеризуются так:
позиция, из которой все возможные ходы ведут в выигрышные позиции – проигрышная ;
позиция, из которой хотя бы один из последующих возможных ходов ведет в проигрышную позицию — выигрышная , при этом стратегия игрока состоит в том, чтобы перевести игру в эту проигрышную (для оппонента) позицию .

Кто выиграет при стратегически правильной игре?

для того чтобы определить, какой из игроков выиграет при стратегически правильной игре, необходимо ответить на вопросы:
Может ли какой-либо из игроков выиграть, независимо от ходов других игроков?
Что должен сделать игрок с выигрышной стратегией первым ходом, чтобы он смог выиграть, независимо от действий ходов игроков?

Рассмотрим пример:

Игра: в кучке лежит 5 спичек; играют два игрока, которые по очереди убирают спички из кучки; условие: за один ход можно убрать 1 или 2 спички; выигрывает тот, кто оставит в кучке 1 спичку

Решение:

Ответ: при правильной игре (стратегии игры) выиграет первый игрок; для этого ему достаточно своим первым ходом убрать одну спичку.

Решение 26 заданий ЕГЭ по информатике

Разбор 26 задания ЕГЭ по информатике 2017 года ФИПИ вариант 5 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша один в два раза . Например, имея кучу из 7 камней, за один ход можно получить кучу из 14 или 8 камней. У каждого игрока, чтобы сделать ход, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28 . Если при этом в куче осталось не более 44 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было 23 камня, и Паша удвоит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1≤ S ≤ 27 .

Задание 1
а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 26, 25, 24 ? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.

Задание 2
S = 13, 12 ? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.

Задание 3
У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 11 ? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в позиции.

✍ Решение:

Подробное объяснение 26 задания ЕГЭ смотрите на видео:

Разбор 26 задания ЕГЭ по информатике 2017 года (один из вариантов со слов выпускника):

Петя и Ваня играют в игру: есть набор слов, необходимо последовательно называть буквы этих слов. Побеждает тот игрок, который называет последнюю букву любого слова из набора. Петя ходит первым .

Например, есть набор слов {Волк, Информатика, Страшно} ; для заданного набора слов Петя своим первым ходом может назвать букву В , И или С . Если Петя выберет букву В , то победит Ваня (следующие ходы: Петя — В , Ваня — О , Петя — Л , Ваня — К ).

Задание 1
А) Даны 2 слова (набора букв) {ИКЛМНИКЛМНХ , НМЛКИНМЛКИ }. Определить выигрышную стратегию.

Б) Даны 2 слова {ТРИТРИТРИ…ТРИ , РИТАРИТАРИТАРИТА…РИТА }. В первом слове 99 букв, во втором 164 . Определить выигрышную стратегию.

Задание 2
Необходимо поменять две буквы местами из набора пункта 1А в слове с наименьшей длинной так, чтобы выигрышная стратегия была у другого игрока. Объяснить выигрышную стратегию.

Задание 3
Дан набор слов {Ворона , Волк , Волна , Производная , Прохор , Просо }. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? Обосновать ответ и написать дерево всех возможных партий.

✍ Решение:

* Для Вани отображены только ходы по стратегии
** Красный круг означает выигрыш

Подробней с решением задания про слова ознакомьтесь в видеоуроке:

Решение 26. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29 . Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28 .

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Задание 1
а) Укажите такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3
Укажите значение S, при котором:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах - количество камней в позиции

Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.

✍ Решение:

Задание 1.

а) Петя может выиграть, если S = 15, … 28

15, ..., 28 - выигрышные позиции с первого хода

б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если в куче будет S = 14 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 15 или 28 камней. В обоих случаях Ваня удваивает кучу и выигрывает в один ход.

S = 14 Петя: 14 + 1 = 15 выигрышная позиция (см. п. а). Выигрывает Ваня Петя: 14 * 2 = 28 выигрышная позиция (см. п. а). Выигрывает Ваня 14 - проигрышная позиция

Задание 2.

Возможные значения S: 7, 13 . В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 14 камней: в первом случае удвоением, во втором — добавлением одного камня. Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

S = 7 Петя: 7 * 2 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Петя S = 13 Петя: 13 + 1 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Петя 7, 13 - выигрышные позиции со второго хода

Задание 3.

Возможные значения S: 12 . После первого хода Пети в куче будет 13 или 24 камня. Если в куче их станет 24, Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 13 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

S = 12 Петя: 12 + 1 = 13 Ваня: 13 + 1 = 14 проигрышная позиция (см. п. 1 б). Выигрывает Ваня вторым ходом!

В таблице изображено дерево возможных партий (и только их) при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчеркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде.

Дерево всех партий, возможных при стратегии Вани:

* красный круг означает выигрыш

Досрочный егэ по информатике 2018, вариант 1. Задание 26:

Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша . За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз . Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 69 .
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 68 .

Задание 1.
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.

Задание 2. Укажите 2 таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход и может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши.

Задание 3. Укажите хотя бы одно значение S, при котором у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, и у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы).

✍ Решение:

а)

S ≥ 14

S ≥ 14 выигрышные позиции

б) S = 13 . Паша своим первым ходом может сделать 14, 17 или 65 камней, после этого Вася увеличивает количество в пять раз, получая 70, 85 или 325 камней в куче.

S = 13 Паша 1 ход: 13 + 1 = 14 Паша 1 ход: 13 + 4 = 17 Паша 1 ход: 13 * 5 = 65 Ваня 1 ход: * 5 = S ≥ 14 Ваня выигрывает 13 - проигрышная позиция

2. S = 9, 12 . Для данных случаев Паше необходимо прибавить 4 камня к куче из 9 камней, либо 1 камень к куче из 12, и получить кучу из 13 камней.
После чего игра сводится к стратегии, описанной в пункте 1б .

S = 13 Паша 1 ход: 9 + 4 = 13 Паша выигрывает Паша 1 ход: 12 + 1 = 13 Паша выигрывает 9, 12 - выигрышные позиции со второго хода

3. S = 8 . Своим первым ходом Паша может сделать количество камней в куче 9, 12 или 40. Если Паша увеличивает кол-во в пять раз, тогда Вася выигрывает своим первым ходом, увеличивая количество камней в пять раз.
Для случая 9 и 12 камней Вася использует стратегию, указанную в п.2 .

S = 8 Паша 1 ход: 8 + 1 = 9 Ваня Выигрывает (см. п.2) Паша 1 ход: 8 + 4 = 12 Ваня Выигрывает (см. п.2) Паша 1 ход: 8 * 5 = 40

Решение 26 задания смотрите на видео:

Тренажер егэ по информатике 2018, контрольный вариант 1. Задание 26 (Крылов С., Ушаков Д.):

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза . Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73 .
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.

Задание 1.
(6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2.
Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию.

Задание 3.
Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

✍ Решение:

Видео решения 26 задания с двумя кучами:

Рассмотрим партию игры, в которой оба игрока стремятся к победе. Если п пп правила игры не допускают ничьей, то в каждой такой партии существует выигрышная стратегия для одного из игроков. Выигрышная стратегия – это правило, следуя которому один из игроков обязательно выиграет, как бы не играл его противник. Основные понятия В играх, которые д дд допускают ничью, может существовать н нн ничейная стратегия – правило, позволяющее игроку свести любую партию к ничьей или выиграть.

Рассмотрим игру к кк камешки с начальной позицией 8 камешков, в которой разрешается брать на каждом ходу 1, 3 или 4 камешка. Изучать позиции игры будем с точки зрения того игрока, чья очередь делать ход. Разместим все возможные позиции игры на числовой линейке: Выигрышные и проигрышные позиции Назовём п пп позицию выигрышной, если из неё есть ход, который оставит противнику проигрышную позицию. Такую позицию будем помечать на линейке к кк красным цветом. Назовём п пп позицию проигрышной, если любой ход из неё, оставляет противнику выигрышную позицию. Такую позицию будем помечать на линейке с сс синим цветом

Позиция 0 – всегда проигрышная: партия закончена, игрок, чья очередь была бы делать ход, уже проиграл. Пометим 0 с сс синим цветом. Позиции 1, 3 и 4 – в вв выигрышные: игрок может забрать все камешки и тем самым оставить противнику проигрышную позицию 0. Пометим эти позиции на линейке к кк красным цветом Позиция 2 – п пп проигрышная: из этой позиции можно сделать только один ход – взять один камешек и тем самым оставить противнику выигрышную позицию 1. Пометим эти позиции на линейке с сс синим цветом.

Позиция 5 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 2 камешка – проигрышную позицию. Пометим 5 к кк красным цветом

Позиция 5 красным цветом Позиция 5 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 2 камешка – проигрышную позицию. Пометим 5 красным цветом Позиция 6 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 2 камешка – проигрышную позицию. Пометим 5 к кк красным цветом.

Позиция 6 красным цветом Позиция 6 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 2 камешка – проигрышную позицию. Пометим 5 красным цветом. Позиция 7 – проигрышная: все ходы, которые можно сделать из этой позиции, оставляют противнику выигрышную позицию 6, 4 или 3. Пометим 7 с сс синим цветом.

Позиция 5 красным цветом Позиция 5 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 2 камешка – проигрышную позицию. Пометим 5 красным цветом Позиция 6 красным цветом Позиция 6 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 2 камешка – проигрышную позицию. Пометим 6 красным цветом. Позиция 7 синим цветом Позиция 7 – проигрышная: все ходы, которые можно сделать из этой позиции, оставляют противнику выигрышную позицию 6, 4 или 3. Пометим 7 синим цветом. Позиция 8 – выигрышная: сделав ход, можно оставить противнику 7 камешков – проигрышную позицию. Пометим 8 к кк красным цветом.

Вывод Как видите, чтобы узнать, выигрышная перед нами позиция или проигрышная, не нужно знать, как игра шла раньше. Будем называть р рр разумной такую партию, в которой игроки стремятся к победе: на каждом шагу они стараются оставить противнику проигрышную позицию.

один или три в два раза . Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 18 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 28 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 27.

Задание 1

Задание 2

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Задание 3

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.

один в два раза . Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию в игре будем обозначать (6, 9). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 9), (7, 9), (6, 10), (6, 18). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 81 или больше камней.

Например, при начальных позициях (21, 30) и (41, 20) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.

Задание 1

Для каждой из начальных позиций (10, 35), (6, 37) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2

Для каждой из начальных позиций (10, 34), (5, 37), (6, 36) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 3

Для начальной позиции (5, 36) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один , три или двадцать камней. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 32 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока - значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2

Задание 3

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальных позициях (6, 34), (7, 33), (9, 32) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.

Задание 1.

Для каждой из начальных позиций (6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2.

Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 3.

Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

Два игрока, Петя и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 100 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 < S < 99.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.

Задание 2

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение хотя бы одно значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

У Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

У Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах - количество камней в позиции.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 39.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

Задание 2

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём (а) Петя не может выиграть за один ход и (б) Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах - количество камней в куче.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11, 13 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ⩽ S ⩽ 28.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Петя не может выиграть за один ход;

Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите хотя бы одно значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 12, 14 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 62.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 62 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 60, S чётное.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза . Например, имея кучу из 9 камней, за один ход можно получить кучу из 10, 11 или 27 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 33 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ⩽ S ⩽ 32.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 14 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 35.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 35 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 34.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Выигрышная стратегия – урок информатики. 3-й класс

Тип урока – изучение нового материала.

Цели урока :

Обучающие – формирование знаний по теме “выигрышная стратегия”; учиться находить закономерность в ходе игры, формулировать и применять выигрышную стратегию (“секрет выигрыша”).

Развивающие – развивать интерес к данной теме и к предмету информатика в целом; развивать логическое мышление; расширять кругозор учащихся.

Воспитательные – способствовать формированию познавательного интереса как компонента учебной мотивации; способствовать развитию учебной и творческой активности учащихся.

Ход урока

Организационный момент. (2 мин.)

Проверка домашнего задания. (3 мин.)

Какого вида первая закономерность? (расположение объектов в цепи)

По каким правилам она построена? (количество точек и направление фигур).

- Какие правила расположения фигурок в таблице вы выделили? (в столбце – количество точек, в строке – направление).

- Как можно назвать таблицу слева по отношению к правой таблице? (аналогичная).

В чем вы видите аналогию? (стрелки направлены так же и такого же цвета, как и фигурки в правой таблице).

Изучение нового материала. (13 мин.)

Сегодня мы научимся не просто узнавать закономерности, но и применять их . (слайд 2)

Вы любите играть? А какие бывают игры? Чем отличаются и чем бывают похожи игры?

Люди придумали очень много разных игр: спортивных, настольных и т.д. Давайте поближе познакомимся с настольными играми. Эти игры можно разделить на два основных типа: игры, где всего два участника (соперника), например, нарды, и игры, в которых могут участвовать более двух игроков, например, лото.

Игры, в которых участвуют только два игрока тоже можно разделить на две группы. К первой группе относятся игры, где игроки делают ходы по очереди и обдумывают каждый ход, потому что он зависит от действий соперника (например, шашки, шахматы). Ко второй группе можно отнести игры, где ходы игроков никак не зависят от ходов противника (морской бой, игры с кубиком и фишками).

Обсуждение ответов учеников и разделение игр по типам:

играют только два игрока или возможно участие двух и более игроков; (например, шашки, шахматы, лото, домино, морской бой, нарды, игры с кубиком и фишками)

ходы игроков зависят от предыдущего хода соперника или нет (шашки, шахматы – морской бой, лото)

Львенок и Черепаха решили сыграть в крестики-нолики. Черепаха ставила крестики, а Львенок – нолики.

Рисунок 1. Заготовки для крестиков-ноликов

Кто сколько ходов сделал? Чей ход следующий?

Где Львенок должен поставить нолик, чтобы выиграть? (в первой игре – по диагонали).

Как можно определить победителя второй игры? (выиграет тот, чей ход следующий).

В третьей игре у соперников возникла проблема: они сделали уже по три хода, а победитель еще не определился. Кто победит в этой игре? (Никто, так как трех последовательных фигур уже не получится).

Рассмотрите игру № 4. Кто выигрывает? (Львенок, так как ему осталось только поставить один нолик).

Но следующий ход делает Черепаха… Представьте, что Черепаха попросила вас о помощи. В какой клетке нужно поставить ей крестик, чтобы помешать Львенку выиграть? (второй столбец, последняя строка).

В каком случае в этой игре выиграет Черепаха? (Если Львенок ошибется в последнем ходе и поставит нолик в верхней строке, тогда у Черепахи будет три крестика в нижней строке).

Что нужно знать. Чтобы выиграть в игре «Крестики-нолики»? (Как расположить фигуры, чтобы выиграть; как помешать выиграть сопернику?)

Мы только что сформулировали выигрышную стратегию игры «Крестики-нолики».

Знакомство с понятием “стратегия игры”. (Слайд 3).

В ряде задач задается один и тот же вопрос: кто из двух игроков выиграет при правильной игре ? Всегда ли выигрывает тот игрок, который начинает игру (или имеет 2-ой ход)?

Слова "правильная игра" означают, что если у кого-то из игроков есть стратегия , позволяющая выигрывать при любых ходах другого игрока, и он не делает "глупых" ходов, а стремится выиграть и следует своей выигрышной стратегии.
В каждой задаче необходимо придумать такую стратегию для одного из игроков.

Физминутка

Игра “Кто первым назовет число 100”. (Слайд 4).

В игре “Кто первым назовет число 100” участвуют двое. Один называет любое число от 1 до 9 включительно. Другой прибавляет к названному числу любое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое число от 1 до 9 и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовет число 100. Кто выиграет при правильной игре?

Учащиеся читают условие игры и двое играют. Остальные слушают, если необходимо, дополняют или поправляют играющих, разгадывая секрет выигрыша в данной игре. (Выигрывает второй игрок, дополняя ходы первого игрока до круглого числа – 10, 20, 30 и т.д.)

Понятие “Выигрышная стратегия”. (Слайды 5, 6).

Разбор игры “Не больше двух предметов”. Поиск секрета выигрыша.

Многие простейшие игры имеют определенную закономерность и секрет выигрыша (выигрышную стратегию). В таких играх выигрышная стратегия зависит:

от правил (условий) игры;

от общего количества предметов, предложенных в игре;

от выбора игроком первого или второго хода.

Рабочая тетрадь “Информатика в играх и задачах” 3 класс, ч.2 №№ 34, 35 (1, 2).

Формулировка “секрета выигрышной стратегии”. (Слайд 7).

Правила (секреты) выигрышной стратегии

Правило 1. Перед началом игры раздели все предметы на группы ОТ КОНЦА К НАЧАЛУ . Кол-во предметов в группе определяется условиями (не больше 2, тогда группы по 3, т.е. (n+1)). Самая первая группа может оказаться неполной – эти предметы мы называем “лишними”.

Правило 2. Если есть “лишние” предметы, то выбери 1-ый ход и закрась “лишние” предметы. Если нет “лишних” предметов – то выбери второй ход.

Правило 3. Дополняй ход другого игрока до (n+1) предмета, тогда в последней группе самый последний предмет будет твой.

5. Итог урока

Итак, мы сегодня с вами познакомились с очень интересным понятием “выигрышная стратегия”, которая используется в простейших играх с участием двух игроков.

6. Домашнее задание: рабочая тетрадь “Информатика в играх и задачах” 3 кл., ч.2 № 37.

Список литературы :

Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. “Информатика в играх и задачах” 3 кл., ч.2., М. Баласс.
Информатика в играх и задачах. Методические рекомендации для учителя. 3 кл. Горячев А.В. и др., М., Баллас.