Метод максимального правдоподобия.

Этот метод состоит в том, что в качестве точечной оценки параметра принимается то значение параметра , при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.

Для случайной наработки до отказа с плотностью вероятности f(t, ) функция правдоподобия определяется формулой 12.11: , т.е. представляет из себя совместную плотность вероятности независимых измерений случайной величины τ с плотностью вероятности f(t, ).

Если случайная величина дискретна и принимает значения Z 1 ,Z 2 …, соответственно с вероятностями P 1 (α),P 2 (α)…, , то функция правдоподобия берётся в ином виде, а именно: , где индексы у вероятностей показывают, что наблюдались значения .

Оценки максимального правдоподобия параметра определяются из уравнения правдоподобия (12.12).

Значение метода максимального правдоподобия выясняется следующими двумя предположениями:

Если для параметра существует эффективная оценка , то уравнение правдоподобия (12.12) имеет единственное решение .

При некоторых общих условиях аналитического характера, наложенных на функции f(t, ) решение уравнения правдоподобия сходится при к истинному значению параметра .

Рассмотрим пример использования метода максимального правдоподобия для параметров нормального распределения.

Пример:

Имеем: , , t i (i=1..N) выборка из совокупности с плотностью распределения .

Требуется найти оценку максимального подобия.

Функция правдоподобия: ;

.

Уравнения правдоподобия: ;

;

Решение этих уравнений имеет вид: - статистическое среднее; - статистическая дисперсия. Оценка является смещённой. Не смещённой оценкой будет оценка: .

Основным недостатком метода максимального правдоподобия являются вычислительные трудности, возникающие при решение уравнений правдоподобия, которые, как правило, являются трансцендентными.

Метод моментов.

Этот метод предложен К.Пирсоном и является самым первым общим методом точечной оценки неизвестных параметров. Он до сих пор широко используется в практической статистике, поскольку нередко приводит к сравнительно несложной вычислительной процедуре. Идея этого метода состоит в том, что моменты распределения зависящие от неизвестных параметров, приравниваются к эмпирическим моментам. Взяв число моментов, равное числу неизвестных параметров, и составив соответствующие уравнения, мы получим необходимое число уравнений. Чаще всего вычисляются первые два статистических момента: выборочное среднее ; и выборочная дисперсия . Оценки, получаемые с помощью метода моментов, не являются наилучшими с точки зрения их эффективности. Однако очень часто они используются в качестве первых приближений.

Рассмотрим пример использования метода моментов.

Пример: Рассмотрим экспоненциальное распределение:

t>0; λ<0; t i (i=1..N) – выборка из совокупности с плотностью распределения . Требуется найти оценку для параметра λ.

Составляем уравнение: . Таким образом, иначе .

Метод квантилей.

Это такой же эмпирический метод, как и метод моментов. Он состоит в том, что квантиль теоретического распределения приравниваются к эмпирической квантили. Если оценке подлежат несколько параметров, то соответствующие равенства пишутся для нескольких квантилей.

Рассмотрим случай, когда закон распределения F(t,α,β) с двумя неизвестными параметрами α, β . Пусть функция F(t,α,β ) имеет непрерывно дифференцируемую плотность , принимающую положительные значения для любых возможных значений параметров α, β. Если испытания проводить по плану , r>>1 , то момент появления - го отказа можно рассматривать как эмпирическую квантиль уровня , i=1,2 … , - эмпирическая функция распределения. Если бы t l и t r – моменты появления l-го и r-го отказов известны точно, значения параметров α и β можно было бы найти из уравнений

непрерывная случайная величина с плотностью Вид плотности известен, но неизвестны значения параметров Функцией правдоподобия называется функция (здесь - выборка объема п из распределения случайной величины £). Легко видеть, что функции правдоподобия можно придать вероятностный смысл, а именно: рассмотрим случайный вектор компоненты которого независимые в совокупности одинаково распределенные случайные величины с законом Д(ж). Тогда элемент вероятности вектора Е имеет вид т.е. функция правдоподобия связана с вероятностью получения фиксированной выборки в последовательности экспериментов П. Основная идея метода правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров А предлагается взять такие значения (3), которые доставляют максимум функции правдоподобия при данной фиксированной выборке, т. е. предлагается считать выборку, полученную в эксперименте, наиболее вероятной. Нахождение оценок параметров pj сводится к решению системы к уравнений (к - число неизвестных параметров): Поскольку функция log L имеет максимум в той же точке, что и функция правдоподобия, то часто систему уравнений правдоподобия (19) записывают в виде В качестве оценок неизвестных параметров Д следует брать решения системы (19) или (20), действительно зависящие от выборки и не являющиеся постоянными. Вслучае, когда £ дискретна с рядом распределения, функцией правдоподобия называют функцию и оценки ищут как решения системы Метод максимального правдоподобия или эквивалентной ей Можно показать, что оценки максимального правдоподобия обладают свойством состоятельности. Следует отмстить, что метод максимального правдоподобия приводит к более сложным вычислениям, нежели метод моментов, но теоретически он более эффективен, так как оценки максимального правдоподобия меньше уклоняются от истинных значений оцениваемых параметров, чем оценки, полученные по методу моментов. Для наиболее часто встречающихся в приложениях распределений оценки параметров, полученные по методу моментов и по методу максимального правдоподобия, в большинстве случаев совпадают. Пршир 1. Отклонение (размера детали от номинала является нормально распределенной случайной личиной. Требуется по выборке определить систематическую ошибку и дисперсию отклонения. М По условию (- нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием (систематическая ошибка) и дисперсией, подлежащими оценке по выборке объема п: Х\>...уХп. В этом случае Функция правдоподобия Система (19) имеет вид Отсюда, исключай решения, не зависящие от Хх, получаем т е. оценки максимального правдоподобия в этом случае совпадают с уже известными нам эмпирическими средним и дисперсией > Пример 2. Оценить по выборке параметр /i экспоненциально распределенной случайной величины. 4 Функция правдоподобия имеет вид Уравнение правдоподобия приводит нас к решению совпадающему с оценкой этого же параметра, полученной по методу моментов, см. (17). ^ Пример 3. Пользуясь методом максимального правдоподобия, оценить вероятность появления герба, если при десяти бросаниях монеты герб появился 8 раз. -4 Пусть подлежащая оценке вероятность равна р. Рассмотрим случайную величину (с рядом распределения. Функция правдоподобия (21) имеет вид Метод максимального Уравнение правдоподобия дает в качестве оценки неизвестной вероятности р частоту появления герба в эксперименте Заканчивая обсуждение методов нахождения оценок, подчеркнем, что, даже имея очень большой объем экспериментальных данных, мы все равно не можем указать точного значения оцениваемого параметра, более того, как уже неоднократно отмечалось, получаемые нами оценки близки к истинным значениям оцениваемых параметров только «в среднем» или «в большинстве случаев». Поэтому важной статистической задачей, которую мы рассмотрим далее, является задача определения точности и достоверности проводимого нами оценивания.

Известный таксономист Джо Фельзенштейн (Felsenstein, 1978) был первым, кто предложил оценивать филогенетические теории не на основе парсимо-

нии, а средствами математической статистистики. В результате был разработан метод максимального правдоподобия (maximum likelihood).

Этот метод основывается на предварительных знаниях о возможных путях эволюции, то есть требует создания модели изменений признаков перед проведением анализа. Именно для построения этих моделей и привлекаются законы статистики.

Под правдоподобим понимается вероятность наблюдения данных в случае принятия определенной модели событий. Различные модели могут делать наблюдаемые данные более или менее вероятными. Например, если вы подбрасываете монету и получаете «орлов» только в одном случае из ста, тогда вы можете предположить, что эта монета бракованная. В случае принятия вами данной модели, правдоподобие полученного результата будет достаточно высоким. Если же вы основываетесь на модели, согласно которой монета является небракованной, то вы могли бы ожидать увидеть «орлов» в пятидесяти случаях, а не в одном. Получить только одного «орла» при ста подбрасываниях небракованной монеты статистически маловероятно. Другими словами, правдоподобие получения результата один «орел» на сто «решек» является в модели небракованной монеты очень низким.

Правдоподобие – это математическая величина. Обычно оно вычисляется по формуле:

где Pr(D|H) – это вероятность получения данных D в случае принятия гипотезы H. Вертикальная черта в формуле читается как «для данной». Поскольку L часто оказывается небольшой величиной, то обычно в исследованиях используется натуральный логарифм правдоподобия.

Очень важно различать вероятность получения наблюдаемых данных и вероятность того, что принятая модель событий правильна. Правдоподобие данных ничего не говорит о вероятности модели самой по себе. Философ-биолог Э.Собер (Sober) использовал следующий пример для того, чтобы сделать ясным это различие. Представьте, что вы слышите сильный шум в комнате над вами. Вы могли бы предположить, что это вызвано игрой гномов в боулинг на чердаке. Для данной модели ваше наблюдение (сильный шум над вами) имеет высокое правдоподобие (если бы гномы действительно играли в боулинг над вами, вы почти наверняка услышали бы это). Однако, вероятность того, что ваша гипотеза истинна, то есть, что именно гномы вызвали этот шум, – нечто совсем иное. Почти наверняка это были не гномы. Итак, в этом случае ваша гипотеза обеспечивает имеющимся данным высокое правдоподобие, но сама по себе в высшей степени маловероятна.

Используя данную систему рассуждений, метод максимального правдоподобия позволяет статистически оценивать филогенетические деревья, полученные средствами традиционной кладистики. По сути, этот метод заключа-

ется в поиске кладограммы, обеспечивающей наиболее высокую вероятность имеющегося набора данных.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение метода максимального правдоподобия. Предположим, что у нас имеется четыре таксона, для которых установлены последовательности нуклеотидов определенного сайта ДНК (рис.16).

Если модель предполагает возможность реверсий, то мы можем укоренить это дерево в любом узле. Одно из возможных корневых деревьев изображено на рис. 17.2.

Мы не знаем, какие нуклеотиды присутствовали в рассматриваемом локусе у общих предков таксонов 1-4 (эти предки соответствуют на кладограмме узлам X и Y). Для каждого из этих узлов существует по четыре варианта нуклеотидов, которые могли там находиться у предковых форм, что в результате дает 16 филогенетических сценариев, приводящих к дереву 2. Один из таких сценариев изображен на рис. 17.3.

Вероятность данного сценария может быть определена по формуле:

где P A – вероятность присутствия нуклеотида A в корне дерева, которая равна средней частоте нуклеотида А (в общем случае = 0,25); P AG – вероятность замены А на G; P AC – вероятность замены А на С; P AT – вероятность замены А на T; последние два множителя – это вероятность созраниния нуклеотида T в узлах X и Y соответственно.

Еще один возможный сценарий, который позволяет получить те же данные, показан на рис. 17.4. Поскольку существует 16 подобных сценариев, может быть определена вероятность каждого из них, а сумма этих вероятностей будет вероятностью дерева, изображенного на рис. 17.2:

Где P tree 2 – это вероятность наблюдения данных в локусе, обозначенном звездочкой, для дерева 2.

Вероятность наблюдения всех данных во всех локусах данной последовательности является произведением вероятностей для каждого локуса i от 1 до N:

Поскольку эти значения очень малы, используется и другой показатель – натуральный логарифм правдоподобия lnL i для каждого локуса i. В этом случае логарифм правдоподобия дерева является суммой логарифмов правдоподобий для каждого локуса:

Значение lnL tree – это логарифм правдоподобия наблюдения данных при выборе определенной эволюционной модели и дерева с характерной для него

последовательностью ветвления и длиной ветвей. Компьютерные программы, применяемые в методе максимального правдоподобия (например, уже упоминавшийся кладистический пакет PAUP), ведут поиск дерева с максимальным показателем lnL. Удвоенная разность логарифмов правдоподобий двух моделей 2Δ (где Δ = lnL tree A- lnL treeB) подчиняется известному статистическому распределению х 2 . Благодаря этому можно оценить, действительно ли одна модель достоверно лучше, чем другая. Это делает метод максимального правдоподобия мощным средством тестирования гипотез.

В случае четырех таксонов требуется вычисления lnL для 15 деревьев. При большом числе таксонов оценить все деревья оказывается невозможным, поэтому для поиска используются эвристические методы (см. выше).

В рассмотренном примере мы использовали значения вероятностей замены (субституции) нуклеотидов в процессе эволюции. Вычисление этих вероятностей является самостоятельно статистической задачей. Для того чтобы реконструировать эволюционное дерево, мы должны сделать определенные допущения по поводу процесса субституции и выразить эти допущения в виде модели.

В самой простой модели вероятности замен какого-либо нуклеотида на любой другой нуклеотид признаются равными. Эта простая модель имеет только один параметр - скорость субституции и известна как однопарамет-рическая модель Джукса - Кантора или JC (Jukes, Cantor, 1969). При использовании этой модели нам необходимо знать скорость, с которой происходит субституция нуклеотидов. Если мы знаем, что в момент времени t= 0 в некотором сайте присутствует нуклеотид G, то мы можем вычислить вероятность того, что в этом сайте через некоторый промежуток времени t нуклеотид G сохранится, и вероятность, того, что в этом сайте произойдет замена на другой нуклеотид, например A. Эти вероятности обозначаются как P(gg) и P (ga) соответственно. Если скорость субституции равна некоторому значению α в единицу времени, тогда

Поскольку в соответствии с однопараметрической моделью любые субституции равновероятны, более общее утверждение будет выглядеть следующим образом:

Разработаны и более сложные эволюционные модели. Эмпирические наблюдения свидетельствуют, что некоторые субституции могут происходить

чаще, чем другие. Субституции, в результате которых один пурин замещается другим пурином, называются транзициями, а замены пурина пиримидином или пиримидина пурином называются трансверсиями. Можно было бы ожидать, что трансверсии происходят чаще, чем транзиции, так как только одна из трех возможных субституций для какого-либо нуклеотида является транзицией. Тем не менее, обычно происходит обратное: транзиции, как правило, происходят чаще, чем трансверсии. Это в частности характерно для митохондриальной ДНК.

Другой причиной того, что некоторые субституции нуклеотидов происходят чаще, чем другие, является неравное соотношение оснований. Например, митохондриальная ДНК насекомых более богата аденином и тимином по сравнению с позвоночными. Если некоторые основания более распространены, можно ожидать, что некоторые субституции происходят чаще, чем другие. Например, если последовательность содержит очень немного гуанина, маловероятно, что будут происходить субституции этого нуклеотида.

Модели различаются тем, что в одних определенный параметр или параметры (например, соотношение оснований, скорости субституции) остаются фиксированными и варьируют в других. Существуют десятки эволюционных моделей. Ниже мы приведем наиболее известные из них.

Уже упомянутая Модель Джукса - Кантора (JC) характеризуется тем, что частоты оснований одинаковы: π A = π C = π G = π T , трансверсии и транзиции имеют одинаковые скорости α=β, и все субституции одинаково вероятны.

Двупараметрическая модель Кимуры (K2P) предполагает равные частоты оснований π A =π C =π G =π T , а трансверсии и транзиции имеют разные скорости α≠β.

Модель Фельзенштейна (F81) предполагает, что частоты оснований разные π A ≠π C ≠π G ≠π T , а скорости субституции одинаковы α=β.

Общая обратимая модель (REV) предполагает различные частоты оснований π A ≠π C ≠π G ≠π T , а все шесть пар субституций имеют различные скорости.

Упомянутые выше модели подразумевают, что скорости субституции одинаковы во всех сайтах. Однако в модели можно учесть и различия скоростей субституции в разных сайтах. Значения частот оснований и скоростей субституции можно как назначить априорно, так и получить эти значения из данных с помощью специальных программ, например PAUP.

Байесовский анализ

Метод максимального правдоподобия оценивает вероятность филогенетических моделей после того, как они созданы на основе имеющихся данных. Однако знание общих закономерностей эволюции данной группы позволяет создать серию наиболее вероятных моделей филогенеза без привлечения основных данных (например, нуклеотидных последовательностей). После того, как эти данные получены, появляется возможность оценить соответствие между ними и заранее построенными моделями, и пересмотреть вероятность этих исходных моделей. Метод, который позволяет это осуществить именуется байесовским анализом , и является новейшим из методов изучения филогении (см. подробный обзор: Huelsenbeck et al. , 2001).

Согласно стандартной терминологии, первоначальные вероятности принято называть априорными вероятностями (так как они принимаются прежде, чем получены данные) а пересмотренные вероятности – апостериорными (так как они вычисляются после получения данных).

Математической основой байесовского анализа является теорема Байеса, в которой априорная вероятность дерева Pr[Tree ] и правдоподобие Pr[Data|Tree ] используются, чтобы вычислить апостериорную вероятность дерева Pr[Tree|Data ]:

Апостериорная вероятность дерева может рассматриваться как вероятность того, что это дерево отражает истинный ход эволюции. Дерево с самой высокой апостериорной вероятностью выбирается в качестве наиболее вероятной модели филогенеза. Распределение апостериорных вероятностей деревьев вычисляется с использованием методов компьютерного моделирования.

Метод максимального правдоподобия и байесовский анализ нуждаются в эволюционных моделях, описывающих изменения признаков. Создание математических моделей морфологической эволюции в настоящее время не представляется возможным. По этой причине статистические методы филогенетического анализа применяются только для молекулярных данных.

До сих пор мы считали, что оценка неизвестного параметра известна и занимались изучением ее свойств с целью использования их при построении доверительного интервала. В этом параграфе рассмотрим вопрос о способах построения оценок.

Методы правдоподобия

Пусть требуется оценить неизвестный параметр, вообще говоря, векторный, . При этом предполагается, что вид функции распределения известен с точностью до параметра,

В таком случае все моменты случайной величины становятся функциями от:

Метод моментов требует выполнения следующих действий:

Вычисляем k «теоретических» моментов

По выборке строим k одноименных выборочных моментов. В излагаемом контексте это будут моменты

Приравнивая «теоретические» и одноименные им выборочные моменты, приходим к системе уравнений относительно компонент оцениваемого параметра

Решая полученную систему (точно или приближенно), находим исходные оценки. Они, конечно, являются функциями от выборочных значений.

Мы изложили порядок действий, исходя из начальных - теоретических и выборочных - моментов. Он сохраняется при ином выборе моментов, начальных, центральных или абсолютных, который определяется удобством решения системы (25.1) или ей подобной.

Перейдем к рассмотрению примеров.

Пример 25.1. Пусть случайная величина распределена равномерно на отрезке [ ; ] , где - неизвестные параметры. По выборке () объема n из распределения случайной величины. Требуется оценить и.

В данном случае распределение определяется плотностью

1) Вычислим первые два начальных «теоретических» момента:

2) Вычислим по выборке два первых начальных выборочных момента

3) Составим систему уравнений

4) Из первого уравнения выразим через

и подставим во второе уравнение, в результате чего придём к квадратному уравнению

решая которое, находим два корня

Соответствующие значения таковы

Поскольку по смыслу задачи должно выполнятся условие < , выбираем в качестве решения системы и оценок неизвестных параметров

Замечая, что есть не что иное, как выборочная дисперсия, получаем окончательно

Если бы мы выбрали в качестве «теоретических» моментов математическое ожидание и дисперсию, то пришли бы к системе (с учетом неравенства <)

которая линейна и решается проще предыдущей. Ответ, конечно, совпадает с уже полученным.

Наконец, отметим, что наши системы всегда имеет решение и при том единственное. Полученные оценки, конечно, состоятельны, однако свойствам несмещенности не обладают.

Метод максимального правдоподобия

Изучается, как и прежде, случайная величина, распределение которой задается либо вероятностями её значений, если дискретна, либо плотностью распределения, если непрерывна, где - неизвестный векторный параметр. Пусть () - выборка значений. Естественно в качестве оценки взять то значение параметра, при котором вероятность получения уже имеющейся выборки максимальна.

Выражение

называют функцией правдоподобия , она представляет собой совместное распределение или совместную плотность случайного вектора с n независимыми координатами, каждая из которых имеет то же распределение (плотность), что и.

В качестве оценки неизвестного параметра берется такое его значение, которое доставляет максимум функции, рассматриваемой как функции от при фиксированных значениях. Оценку называют оценкой максимального правдоподобия . Заметим, что зависит от объема выборки n и выборочных значений

и, следовательно, сама является случайной величиной.

Отыскание точки максимума функции представляет собой отдельную задачу, которая облегчается, если функция дифференцируема по параметру.

В этом случае удобно вместо функции рассматривать её логарифм, поскольку точки экстремума функции и её логарифма совпадают.

Методы дифференциального исчисления позволяют найти точки, подозрительные на экстремум, а затем выяснить, в какой из них достигается максимум.

С этой целью рассматриваем вначале систему уравнений

решения которой - точки, подозрительные на экстремум. Затем по известной методике, вычисляя значения вторых производных

по знаку определителя, составленного из этих значений, находим точку максимума.

Оценки, полученные по методу максимального правдоподобия, состоятельны, хотя могут оказаться смещенными.

Рассмотрим примеры.

Пример 25.2. Пусть производится некоторый случайный эксперимент, исходом которого может быть некоторое события А, вероятность Р(А) которого неизвестна и подлежит оцениванию.

Введем случайную величину равенством

если событие А произошло,

если событие А не произошло (произошло событие).

Распределение случайной величины задается равенством

Выборкой в данном случае будет конечная последовательность (), где каждое из может быть равно 0 либо 1.

Функция правдоподобия будет иметь вид

Найдем точку её максимума по р, для чего вычислим производную логарифма

Обозначим - это число равно количеству единиц «успехов» в выбранной последовательности.