Определение

Для пространства рассуждения и данной функции принадлежности нечёткое множество определяется как

Функция принадлежности количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения нечёткому множеству . Значение означает, что элемент не включен в нечёткое множество, описывает полностью включенный элемент. Значения между и характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечёткое множество и классическое, четкое (crisp ) множество

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности справедливо утверждение, что существует такой , при котором .

s

Функция принадлежности класса s определяется как:

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s :

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

См. также

• Грубое множество
• Эвентология

Внешние ссылки

Литература

• Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. - М .:Горячая линия - Телеком, 2004. - 452 с - ISBN 5-93517-103-1

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Теория нечёткой меры
• Капель

Смотреть что такое "Функция принадлежности" в других словарях:

функция принадлежности - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN membership function … Справочник технического переводчика

Функция и поле речи и языка в психоанализе - «ФУНКЦИЯ И ПОЛЕ РЕЧИ И ЯЗЫКА В ПСИХОАНАЛИЗЕ» («Fonction et champ de la parole et du langage en psychanalyse») программа переосмысления психоанализа, выдвинутая в 1953 франц. психиатром и психоаналитиком Жаком Лаканом. Этот текст был… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Характеристическая функция (нечёткая логика) - Функция принадлежности нечёткого множества это обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому… … Википедия

Индикаторная функция

Характеристическая функция множества - Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества это функция, определенная на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A. Термин характеристическая функция уже занят в теории… … Википедия

ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ - комплексного переменногог регулярная однолистная функция в единичном круге, отображающая единичный круг на нек рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности… … Математическая энциклопедия

Нечёткое множество - Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

Нечеткие множества

Нечеткое множество - Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткие множества - Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

1

Нечеткая логика – одно из интереснейших и активно развивающихся направлений теории искусственного интеллекта. Отличие теории нечетких множеств от классической теории четких множеств состоит в том, что если для четких множеств результатом вычисления функции принадлежности могут быть только два значения – ноль или единица, то для нечетких множеств это количество бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до единицы.В статье рассматриваются способы и примеры определения значений функции принадлежности, а именно частотный анализ, экспертный метод нормирования и метод попарных сравнений, L-R – функции. Рассмотренные методы просты в применении.Материалы данной статьи представляют методическую и практическую ценность для преподавателей и студентов, интересующихся вопросами нечеткого моделированияи анализа данных.

Ключевыеслова: нечеткая логика

функция принадлежности

1. Курзаева Л.В., Новикова Т.Б., Лактионова Ю.С., Петеляк В.Е. Применение метода попарных сравнений для определения функции принадлежности нечеткой переменной в задачах управления социально-экономическими системами // Научно-практический журнал «Заметки ученого». - 2015 - №5. - С.87-90

2. Курзаева Л.В. Нечеткая логика и нейронные сети. – Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск, гос.тех. ун-та им. Г.И.Носова, 2016.

4. Курзаева Л.В. Введение в теорию систем и системный анализ: учеб. пособие/Л.В. Курзаева. -Магнитогорск: МаГУ, 2015. -211 с.

5. Курзаева Л.В. Введение в методы и средства получения и обработки информации для задач управления социальными и экономическими системами: учеб. пособие / Л.В. Курзаева, И.Г. Овчинникова, Г.Н. Чусавитина. -Магнитогорск: Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2016. -118 с.

Все методы определения значений функций принадлежности условно можно разделить на следующие группы: прямые методы, косвенные методы, L-R & dash; функции.

К первой группе методов можно отнести частотный анализ по результатам опросов экспертов.

Пример. По результатам опросов респондентов по прогнозам цены литра молока в 2016 г. получены следующие результаты (табл.1).

Ко второй группе методов можно отнести экспертные методы (например, анкетный метод нормирования, а также метод попарных сравнений).

Метод нормирования, заключается в следующем. Эксперту предлагается оценить степень принадлежности к множеству А каждого элемента из Ux1 & dash; х, соотнеся свое мнение со значениями по некоторой, заранее выбранной шкале (например, от 0 до 100%, или относительных величинах от 0 до 1, или любой другой).

Результаты опроса нескольких экспертов сводятся в матрицу опроса (табл. 2).

Затем производятся следующая последовательность действий:

Таблица 1

Данные по опросу экспертов о прогнозируемой цене на молоко в 2016 г

Матрица опроса нескольких экспертов

Пример. В табл. 3 приведены результаты опроса четырех экспертов о степени принадлежности трех элементов & dash; автомобилей «Chevrolet iva», «JeepGra dCherokee», «CheryTiggo F» множеству «Внедорожники», оцененные по 100 бальной шкале.

Таблица 3

Матрица опроса

Рассчитывается сумма весов, даваемых i-м экспертом всем элементам:

Таблица 4

Рассчитывается относительный вес j-го элемента на основании оценки i-го эксперта:

Таблица 5

Матрица опроса с элементами расчетов

Рассчитывается результирующий вес j-го элемента:

Таблица 6

Итак, согласно собранным данным и методу расчета множестово«Внедорожники» ={0,43/ «JeepGra dCherokee»; 0,29/ «Chevrolet iva»; 0,28/ «CheryTiggo F»}

Метод попарных сравнений, заключается в том, что только один эксперт на основе своего субъективного мнения оценивает принадлежность элемента данному множеству относительно другого элемента. Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности, ее модификация приведена в табл. 7:

Таблица 7

Матрица опроса с элементами расчетов и результатами

Результаты попарного сравнения элементов заносятся в матрицу сравнения размерности n×n, где n число сравниваемых элементов. Элемент указанной матрицы выражает результат сравнения элементов i и j. Если при сравнении элементов i и j получено a(i,j)=b, то результатом сравнения элементов jи iдолжно быть a(j,i)=1/b. Очевидно, что диагональные элементы матрицы равны 1.

Т. Саати предложил упрощенную процедуру вычисления вектора w. Пусть v& dash; вектор геометрических средних строк некоторой матрицы сравнения:

Тогда вектор wбудет определяться следующим образом:

Пример. По результатам оценки эксперта степени принадлежности трех элементов & dash; значений температур в градусах Цельсия определить множество «Холодно».

Соответствующие матрицам сравнения векторы локальных приоритетов находятся следующим образом:

Рис. 1. Примеры L-R -функций

Итак, по данным расчетов «Холодно»={0,747/ -25; 0,134/ -10; 0,119/-5}.

Третью группу составляют способы на основе использования так называемые L-R & dash; функций (типовых форм кривых рис. 1) для задания функций принадлежности с уточнением их параметров путем приближения к реальным данным.

Пример. Если мы оцениваем параметр качественно, например, говоря: «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа « Среднее значение — это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования трапециевидную функцию.

Если мы хотим выразить «приблизительно равно α», то можно использовать треугольные функции.

Библиографическая ссылка

Курзаева Л.В. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 12-6. – С. 1047-1051;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=10983 (дата обращения: 06.04.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Пусть Х = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } , M = ; A - нечеткое множество, для которого

 A (x 1 )=0,3;  A (x 2 )=0;  A (x 3 )=1;  A (x 4 )=0,5;  A (x 5 )=0,9 .

Тогда A можно представить в виде: A = {0,3/ x 1 ; 0/ x 2 ; 1/ x 3 ; 0,5/ x 4 ; 0,9/ x 5 }, или A = 0,3/ x 1 + 0/ x 2 + 1/ x 3 + 0,5/ x 4 + 0,9/ x 5 , или таблицей (табл.1)

Таблица 1

Представление нечеткого множества А

Замечание. Здесь знак "+ " не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

При построении функций принадлежности используются прямые и косвенные методы. При использовании прямых методов эксперт либо просто задает для каждого x  Х значение  A (x ) , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значе-ния, соответствующие значениям функции принадлежности 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы (табл. 2)

Таблица 2

Шкалы в задаче распознавания образов

x 1	высота лба
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
x 3	длина носа	короткий
x 4	разрез глаз
x 5	цвет глаз
x 6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ
x 8	цвет лица
x 9	очертание лица	овальное	квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает  A (x ) на , формируя векторную функцию принадлеж-ности {  A (x 1 ) ,  A (x 2 ) ,...,  A (x 9 )}.

При построении функций принадлежности используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый » или «этот человек не лысый », тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение  « лысый» (данного лица).

Введем следующие обозначения: K - количество экспертов; - мнениеk -го эксперта о наличии у элемента u j свойств нечеткого множества suppI j , k =1,…,K , i =1,…,n , j =1,…,m ,. Будем считать, что экспертные оценки бинарные, т.е.  { 0,1} , где 1 (0 ) указывает на наличие (отсутствие) у элемента u j свойств нечеткого множества suppI j . По результатам опроса экспертов, степени принадлежности нечеткому множеству suppI j , j =1,…,m рассчитываются следующим образом:

, i= 1,…,n. (1)

Пример. Построить функции принадлежности значений «низкий», «средний», «высокий», используемых для лингвистической оценки переменной «рост мужчины». Результаты опроса пяти экспертов приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты опроса экспертов

	Значения
Эксперт 1
Эксперт 2
Эксперт 3
Эксперт 4
Эксперт 5

Результаты обработки экспертных мнений представлены в табл. 4. Числа курсивом – это количество голосов, отданных экспертами за принадлежность нечеткому множеству соответствующего элемента универсального множества. Числа обычным шрифтом – степени принадлежности, рассчитанные по формуле (1). Графики функций принадлежности показаны на рис. 6.

Таблица 4

Результаты обработки мнений экспертов

Значения

Рис. 6. Функции принадлежности нечетких множеств из примера

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например,  A (x i ) =w i , i =1,2,...,n , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A ={a ij }, где a ij =w i /w j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, a ij =1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в  раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w , удовлетворяющего уравнению вида А w = max w , где  max - наибольшее собственное значение матрицы A . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Нечеткое множество (fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть X – универсальное (базовое) множество, x – элемент X , а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар
A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция, принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R , и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из X нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности ), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M = 0 ; 1 . Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = 0 ; 1 , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Степень принадлежности μ A x является субъективной мерой того, насколько элемент x ∈ X , соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A .

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество S A универсального множества X со свойством μ A x > 0 , т.е. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество S A универсального множества X , для элементов которого функция принадлежности μ A x > 0 больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают support A .

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μ A x / x при помощи символа ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . При этом подразумевается, что элементы x i упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е. x 1 < x 2 < x 3 < … < x n .

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑ , можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x .

Пример. Пусть универсальное множество X соответствует множеству возможных значений толщин изделия от 10 мм до 40 мм с дискретным шагом 1 мм. Нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «малая толщина изделия», может быть представлено в следующем виде:

A = 1 / 10 ; 0,9 / 11 ; 0,8 / 12 ; 0,7 / 13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; … ; 0 / 40 ,

A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

S A = 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40 , т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок S A = 10 ; 16 .

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μ A x , заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … – множество целых неотрицательных чисел. Нечеткое множество ital малый можно определить как μ ital малый x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным , если его носитель S A является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность card A = card S A . Нечеткое множество A называется бесконечным , если его носитель S A не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . . , причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. Несчетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума , т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . .

Пример. Нечеткое понятие «очень маленькое количество деталей» может быть представлено в виде конечного нечеткого множества A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … с мощностью card (A) = 6 и носителем S A = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , который является конечным четким множеством. Нечеткое понятие «очень большое количество деталей» может быть представлено в виде A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечеткого множества с бесконечным счетным носителем S A ≡ N (множество натуральных чисел), который имеет счетную мощность в обычном смысле.

Пример. Несчетное нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «очень горячо», задано на универсальном множестве значений температур (в Кельвинах) температурой x ∈ [ 0 ; ∞) и функцией принадлежности μ A = 1 − e − x , с носителем S A ≡ R + (множество неотрицательных действительных чисел), который имеет несчетную мощность континуума.

Величина sup x ∈ X μ A x называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x < 1 субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым , если ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечеткое множество называется унимодальным , если μ A x = 1 только для одной точки x (моды ) универсального множества X .

Нечеткое множество называется точечным , если μ A x > 0 только для одной точки x универсального множества X .

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множества X , называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , где A 0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар μ A x / x , составляющих нечеткое множество A , для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию μ A x ≥ α .

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Элементы x ∈ X , для которых μ A x = 0,5 называются точками перехода нечеткого множества A .

Ядром нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество core A , элементы которого удовлетворяют условию core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Границей нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество front A , элементы которого удовлетворяют условию front A = x ∈ X ∣ 0 < μ A x < 1 .

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 , M = 0 ; 1 . Нечеткое множество несколько можно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; его характеристики: высота = 1 , носитель = 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , точки перехода = 3 ; 8 , ядро = 5 ; 6 , граница = 3 ; 4 ; 7 ; 8 .

Нечеткое множество A , определенное на универсальном множестве X , называется выпуклым , если μ A x ≥ min μ A a ; μ A b ; a < x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств

При этом, выполняются следующие соотношения

Чтобы с помощью можно было сравнивать нечеткие множества , имеющие различные носители, надо нормировать , потребовав, чтобы для любого множества мера нечеткости не превышала какой-то определенный порог, например, 1. Нормированное расстояние между нечетким множеством и ближайшим к нему обычным множеством называют индексом нечеткости и обозначают .

В таблице 6.3 приведены основные формулы вычисления индекса нечеткости. - обычное множество, ближайшее к нечеткому множеству , – характеристическая функция множества , вычисляемая по формуле (6.7) .

Основные формулы вычисления индексов нечеткости множеств

Таблица 6.3.

Вид метрики	Вид множества
	– дискретное множество, число его элементов	- непрерывное множество
Линейное расстояние Хемминга
Евклидово расстояние

Пример 6.9

Для множеств и примера 6.1 рассчитаем в MathCad индексы нечеткости, , используя метрику Евклида и по метрике Хемминга..

Индексы нечеткости по Евклиду и по Хеммингу для множеств и :

6.7 Экспертные оценки методом нечетких множеств

В процессе принятия решений по вопросам управления организациями достаточно часто прибегают к методу экспертных оценок. Суть метода состоит в следующем: эксперты анализируют проблему, давая количественную оценку характеристикам объектов, в дальнейшем полученные результаты обрабатываются, и на основании анализа мнений группы экспертов принимается решение проблемы.

В такой процедуре возникает, по крайней мере, две проблемы, связанные между собой.

Первая - при оценке объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость оценить степень согласия экспертов количественно. Получение количественной меры согласованности позволяет более обосновано интерпретировать причины расхождений. Вторая - выбор лучшей альтернативы из имеющихся на основе агрегации результатов или, как говорят, свертки с учетом веса мнения эксперта или весомости критерия. Для получения более адекватных оценок в данном анализе можно использовать аппарат теории нечетких множеств. Автором Назаровым Д.М. разработана методика для решения таких задач.

Методика Назарова

Если имеется универсальное множество U, элементы которого имеют неоднозначную составляющую, можно построить нечеткое подмножество множества и рассмотреть его характеристическую функцию . Если близко к значению 1 или 0, то вклад элемента в нечеткость множества мал. И наоборот, если близко к значению 0,5 (значительно отличается как от 1, так и от 0), то его вклад в нечеткость будет значителен. Таким образом, вклад в нечеткость каждого элемента множества определяется близостью или отдаленностью значения функции принадлежности на этом элементе к числам 1 и 0, а мера нечеткости всего множества определяется как сумма вкладов каждого его элемента. Чтобы сравнивать нечеткие множества , имеющие различные носители, надо их нормировать. Представляя имеющиеся данные в виде нормированных нечетких множеств, можно анализировать их с использованием индексов нечеткости. Для вычисления индекса нечеткости , надо построить ближайшее к нечеткому множество с функцией принадлежности (см. 6.6) и рассчитать нормированное расстояние по Хэммингу (см. 6.7).

Таким образом, чтобы ответить на вопрос: "Какое из двух множеств "более нечетко"?", надо вычислить и сравнить индексы нечеткости этих множеств. "Более нечетким" является то множество, которое имеет больший индекс нечеткости.

Рассмотрим предложенную методику на примере задачи.

Задача 6.1

Пусть имеются данные экспертных оценок по ряду вопросов. Были поставлены 10 вопросов, 30 экспертов давали оценки по 10- бальной системе. Требуется обработать результаты анкетирования на предмет согласованности оценок. По каким вопросам были даны наиболее согласованные оценки. С другой стороны, какие эксперты были более определенны в своих оценках. Для решения используем методику Назарова.

Постановка задачи

Неоднозначность оценок вызвана с одной стороны, может быть, нечеткой постановкой вопросов, с другой, стороны, у каждого эксперта свое видение проблемы. Учитывая неоднозначность оценок экспертов, будем рассматривать массив данных как множество , для которого построим нечеткое подмножество с характеристической функцией . Проведем анализ нечеткого множества по методике Назарова. Для этого рассчитаем индексы нечеткости множеств оценок экспертов и сравним их. При этом, задача распадается на две:

Задача 6.1.1

Определить индексы нечеткости множеств оценок всех экспертов по каждому вопросу и, тем самым, выявить самые неоднозначные вопросы, при ответе на которые мнения экспертов максимально расходились.

Задача 6.1.2

Определить индексы нечеткости множеств оценок по всем вопросам каждого эксперта и выявить, какой эксперт давал наиболее неоднозначные ответы,

Решение задачи 6.1.1.

Представим решение в системе MathCad. Используем матричное представление данных .

Представляем множество оценок в виде матрицы . Имеем массив оценок по 10- бальной системе: по 10 вопросам (столбцы) 30 экспертов (строки).

Оценки 30 экспертов:



Построим функцию принадлежности . нечеткого множества оценок при ответах экспертов на каждый вопрос следующим образом:

• Подсчитаем частоту различных оценок при ответе на каждый вопрос:

  Матрица частоты оценок :

  

  Подсчитаем доли различных оценок при ответе на каждый вопрос. Таким образом, мы выявим степени принадлежности каждой оценки к множеству оценок по рассматриваемому вопросу. Для этого значения каждой ячейки предыдущей таблицы разделим на 30 – по количеству экспертов (Рис.6.14).

  

  Нечеткое множество экспертных оценок :

  

  Нормируем значения предыдущей таблицы, разделим их на максимальное значение по каждому столбцу. При этом максимальное значение степени принадлежности каждой оценки нечеткому множеству оценок при ответе экспертов на каждый вопрос станет равным единице, и мы получим значения функции принадлежности оценок.

  

  Нормированное нечеткое множество экспертных оценок :

  

Нами получено нечеткое множество оценок экспертов по каждому вопросу Построим четкое множество, ближайшее к рассматриваемому нечеткому множеству - = . Применим условную функцию .

Множество , ближайшее к рассматриваемому нечеткому множеству:



Рассчитаем индекс нечеткости по линейной метрике (расстояние по Хэммингу) по формуле: .

Для этого:



Отклонения – расстрояние по Хэмингу