Параллельное проецирование

Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость. В этом отношении центрально проекционные чертежи не являются наиболее удобными. Поэтому большим распространением пользуется способ параллельного проециро­вания для построения изображений пространственных фигур.

Задаём некоторую плоскость П′ , являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s , не параллельное плоскости проекций П′ в соответствии с рисунком 1.2.2. Для проецирования какой-либо точки А пространства проводим через неё про­ецирующую прямую АА′ , параллельную направлению проецирования s . Точка пересечения А′ проецирующей прямой с плоскостью П′ являетсяпараллельной проекцией точки А на плоскость П′ .

Рисунок 1.2.3 – Параллельная проекция параллельных в пространстве

Построив для прямых АВ и CD проецирующие плоскости AА¢В¢B и CС¢D¢D , заметим, что эти плоскости параллельны, как плоскости, имеющие уг­лы с соответственно параллельными сторонами (AB||CD ; BВ¢ ||DD¢ ). Поэтому проецирующие плоскости пересекают плоскость проекций П" по двум парал­лельным между собой прямым.

2) Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции .

Пусть АВ и CD – отрезки, лежащие на параллельных прямых. Построим их проекции на плоскость П¢ при направлении проецирования s (рисунок 1.2.3). Про­ведём в проецирующих плоскостях отрезки А¢В1 и С¢D1 , соответственно парал­лельные и равные отрезкам АВ и СD . Треугольники А¢B¢B1 и С¢D¢D1 являются подобными, т.к. их соответственные стороны параллельны. Отсюда

Отсюда следует, что отношение, в котором точка В делит отрезок АС. со­храняется в проекции для точки В′, делящей отрезок А"С′.

Рисунок 1.2.4 – Деление отрезка в заданном соотношении при параллельном проецировании

Введение

Все разделы начертательной геометрии пользуются одним методом – методом проецирования, поэтому чертежи, применяемые не только в начертательной геометрии, называются проекционные чертежи .

Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А 1 . Точку А называют проецируемой точкой . Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций . Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А . Прямая А А 1 (луч), называется проецирующим лучом .

Рис.1.

Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А , B , C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования , или полюсом .

Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А 1 B 1 C 1 будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).

Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.

Метод параллельного (косоугольного) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки треугольника АВС , будут параллельны между собой (рис.3). Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.

Ортогональный (прямоугольный) метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций (рис.4). Данный метод – частный случай параллельного проецирования.

Таким образом, любая точка пространства может быть спроецирована на плоскости проекций: на горизонтальную П 1 , фронтальную П 2 и профильную П 3 . Горизонтальная проекция точки обозначается А 1 или А ′, фронтальная А 2 или А ″, профильная А 3 или А ′″ (рис.5).

Параллельное проецирование (рис. 1.6) можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проецирования удален в бесконечность (S ∞). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проек-

ций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными. в остальных случаях – косоугольными (на рис. 1.6 направление проецирования указано стрелкой под углом к плоскости проекций ).

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства.

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций.

Если прямые MN и KL (рис. 1.7) параллельны, то проецирующие плоскости и параллельны, так как пересекающиеся прямые в этих плоскостях взаимно параллельны: – по условию,

Следовательно, проекции и параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей р и у с плоскостью л.

Отметим на прямой MN произвольный отрезок А В и на прямой KL произвольный отрезок CD. Проведем в плоскости р через точку А прямую и в плоскости у через точку С прямую С – . Отрезки как отрезки параллельных между параллельными. Отрезки и, следовательно, . Отрезки , так как все их стороны взаимно параллельны. Из подобия треугольников и следует:

Из рассмотренного следует:

а) если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 1.8):

б) проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине.

Это очевидно, так как (см. рис. 1.7) при будет . Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм.

• 2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру.
• 3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проецирования, также не обеспечивают обратимости чертежа.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным или ортогональным проецированием . Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Прямоугольная проекция D 0 точки D показана на рис. 1.9.

Наряду со свойствами параллельных (косоугольных) проекций ортогональное проецирование имеет следующее свойство : ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны.

На рис. 1.10 Докажем, что

Проецирующая прямая перпендикулярна плоскости проекций , проекции и прямой ВА. Плоскость ) перпендикулярна прямой ВА, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ( – по условию, а по построению). Проекция перпендикулярна плоскости , так как . Следовательно, проекция плоскости на плоскости – прямая KL перпендикуляпна пооекции , а с прямой KL совпадает проекция В °С 0, т. е. что и требовалось доказать.

Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования.

Проецирование - это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.

Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты - точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекций П", на которой получается изображение объектов в соответствии с рисунком 1.2.

Построить проекции предметов на чертеже можно двумя способами: центральным и параллельным.

Наименование способа проецирования	Сущность способа
Центральное проецирование	Все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки Р, называемой центром проекций (рисунок 1.3). Полученные проекции А", В", С" называются центральными проекциями точек А, В, С.
Параллельное проецирование	Все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению S , а значит и друг другу (рисунок 1.4). Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными. При построении проекций А", В", С" этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С.
Рисунок 1.3	Рисунок 1.4

Свойства проецирования

Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств:

1) Проекция точки есть точка. При заданном центре Р (или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует иа плоскости проекций п" единственная точка А". При этом проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой в соответствии с рисунком 1.2.

2) Проекция прямой есть прямая. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек (рисунок 1.5). Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции П", то ее проекция параллельна самой прямой (рисунок 1.6). При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном - равны им. При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций (рисунок 1.7).

Рисунок 1.5

Рисунок 1.6	Рисунок 1.7

Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам (рисунок 1.9, а), а при параллельном - равны им (рисунок 1.9, б).

Рисунок 1.9

1.5 Инварианты параллельного проецирования (прямоугольное проецирование)

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рисунок 1.10). Объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция - катетом: А"В" = AB cos a..

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.

Обратимость чертежа. Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А (рисунок 1.8) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п". Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А". Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрические чертежи).

Рисунок 1.12
Внимание, вопрос!	Подумайте, проанализируйте предложенные чертежи и докажите справедливость перечисленных инвариантов центрального и параллельного проецирования (рисунок 1.12).
Запомните!	1 Рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования. 2 Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проецировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

Контрольные вопросы

1 Какие геометрические элементы включают в себя аппарат проецирования?

2 Какие способы проецирования вы знаете?

3 Какие проецирующие поверхности могут создавать проецирующие лучи?

4 Перечислите основные свойства проекций.

5 Чему равна проекция угла, плоскость которого параллельна плоскости проекций при центральном проецировании?

6 В какие геометрические образы вырождаются проекции прямых и плоскостей поверхностей, занимающих проецирующее положение?

7 Как читается теорема о проецировании прямого угла?

8 Как вы понимаете термин «обратимый чертеж? Чем достигается обратимость чертежа?
ЛЕКЦИЯ №2

Параллельное проецирование

Широкое распространение в практике получил частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования S удален в бесконечность от плоскости проекций П¢. Проецирующие лучи при этом практически параллельны между собой, поэтому данный способ получил название параллельного проецирования , а полученные с его помощью изображения (проекции) фигуры на плоскости называют параллельными проекциями .

Рисунок 1-2

Возьмем в пространстве какую-либо фигуру, например линию АВ (рисунок1-2). Спроецируем ее на плоскость проекций П¢. Направление проецирования укажем стрелкой S. Чтобы спроецировать точку А на плоскость П¢ надо провести через эту точку параллельно направлению S прямую линию до пересечения с плоскостью проекций П¢. Полученная точка А¢ называется параллельной проекцией точки А. Аналогично находим проекции других точек линии АВ.

Совокупность всех проецирующих лучей определяет (представляет) в пространстве цилиндрическую поверхность, поэтому такой способ проецирования называют цилиндрическим.

2.3Основные свойства параллельного проецирования

1) Проекцией точки является точка. АÞА¢ (рисунок 1-3а).

2) Проекцией прямой является прямая (свойство прямолинейности ).

Действительно, при параллельном проецировании все проецирующие лучи будут лежать в одной плоскости Е. Эта плоскость пересекает плоскость проекций по прямой линииl¢ (рисунок 1-3б).

3) Если в пространстве точка принадлежит линии (лежит на ней), то проекция этой точки принадлежит проекции линии (свойство принадлежности ), (рисунок 1-Зб, точка М).

4) Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, т.к. (рисунок 1-3б, в), (l )ll(m )Þ (l ¢) II (m ").

5) Если отрезок прямой делится точкой в некотором отношении, то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении.

Докажем это: введем СЕ//A’С" и DВ//С"B", тогда . Из подобия треугольников следует, что

½АС½/½СВ½=½СЕ½/½DB½=½A¢C¢½/½C¢B¢½.

6) Параллельный перенос плоскости проекций или фигуры (без поворота) не меняет вида и размеров проекции фигуры (рисунок1-4).

2.4 Прямоугольное проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций П¢, еще больше упрощает построение чертежа и наиболее часто применяется в конструкторской практике. Этот способ называют прямоугольным проецированием или (что тоже) ортогональным проецированием.

Метод ортогональных проекций был впервые изложен французским геометром Гаспаром Монжем, поэтому иногда его называют методом Монжа. Этот метод является основным при составлении технических чертежей, поскольку позволяет наиболее полно судить о размерах изображенных предметов. В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной некоторого отрезка АВ в пространстве и длиной его проекции А¢В¢(рисунок 1-5).

Рассмотренные способы проецирования позволяют однозначно решать прямую задачу - по данному оригиналу строить его проекционный чертеж. Однако только одна параллельная проекция без каких-либо дополнений недостаточна для полного представления о том, каким является этот предмет в натуре. По такому изображению (рисунок 1-6) нельзя определить не только форму и размеры предмета, но и его положение в пространстве, т.е. параллельная проекция не обладает свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей проекционный чертеж дополняют необходимыми данными. Способы дополнения бывают различными. Мы в курсе начертательной геометрии будем рассматривать два вида обратимых чертежей:

1. комплексные чертежи в ортогональных проекциях;

2. аксонометрические чертежи.