С поверхностями 2-го порядка студент чаще всего встречается на первом курсе. Сначала задачи на эту тему могут казаться простыми, но, по мере изучения высшей математики и углубления в научную сторону, можно окончательно перестать ориентироваться в происходящем. Для того чтобы такого не произошло, надо не просто заучить, а понять, как получается та или иная поверхность, как изменение коэффициентов влияет на нее и ее расположение относительно изначальной системы координат и как найти новую систему (такую, в которой ее центр совпадает с началом координат, а параллельна одной из координатных осей). Начнем с самого начала.

Определение

Поверхностью 2 порядка называется ГМТ, координаты которого удовлетворяют общему уравнению следующего вида:

Ясно, что каждая точка, принадлежащая поверхности, должна иметь три координаты в каком-либо обозначенном базисе. Хотя в некоторых случаях геометрическое место точек может вырождаться, например, в плоскость. Это лишь значит, что одна из координат постоянна и равна нулю во всей области допустимых значений.

Полная расписанная форма упомянутого выше равенства выглядит так:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - некоторые константы, x, y, z - переменные, отвечающие аффинным координатам какой-либо точки. При этом хотя бы один из множителей-констант должен быть не равен нулю, то есть не любая точка будет отвечать уравнению.

В подавляющем большинстве примеров многие числовые множители все же тождественно равняются нулю, и уравнение значительно упрощается. На практике определение принадлежности точки к поверхности не затруднено (достаточно подставить ее координаты в уравнение и проверить, соблюдается ли тождество). Ключевым моментом в такой работе является приведение последней к каноническому виду.

Написанное выше уравнение задает любые (все указанные далее) поверхности 2 порядка. Примеры рассмотрим далее.

Виды поверхностей 2 порядка

Уравнения поверхностей 2 порядка различаются только значениями коэффициентов A nm . Из общего вида при определенных значениях констант могут получиться различные поверхности, классифицируемые следующим образом:

1. Цилиндры.
2. Эллиптический тип.
3. Гиперболический тип.
4. Конический тип.
5. Параболический тип.
6. Плоскости.

У каждого из перечисленных видов есть естественная и мнимая форма: в мнимой форме геометрическое место вещественных точек либо вырождается в более простую фигуру, либо отсутствует вовсе.

Цилиндры

Это самый простой тип, так как относительно сложная кривая лежит только в основании, выступая в качестве направляющей. Образующими являются прямые, перпендикулярные плоскости, в которой лежит основание.

На графике показан круговой цилиндр - частный случай эллиптического цилиндра. В плоскости XY его проекция будет эллипсом (в нашем случае - кругом) - направляющей, а в XZ - прямоугольником - так как образующие параллельны оси Z. Чтобы получить его из общего уравнения, необходимо придать коэффициентам следующие значения:

Вместо привычных обозначений икс, игрек, зет использованы иксы с порядковым номером - это не имеет никакого значения.

По сути, 1/a 2 и другие указанные здесь постоянные являются теми самыми коэффициентами, указанными в общем уравнении, но принято записывать их именно в таком виде - это и есть каноническое представление. Далее будет использоваться исключительно такая запись.

Так задается гиперболический цилиндр. Схема та же - направляющей будет гипербола.

Параболический цилиндр задается несколько иначе: его канонический вид включает в себя коэффициент p, называемый параметром. На самом деле, коэффициент равен q=2p, но принято разделять его на представленные два множителя.

Есть еще один вид цилиндров: мнимые. Такому цилиндру не принадлежит ни одна вещественная точка. Его описывает уравнение эллиптического цилиндра, но вместо единицы стоит -1.

Эллиптический тип

Эллипсоид может быть растянут вдоль одной из осей (вдоль которой именно зависит от значений постоянных a, b, c, указанных выше; очевидно, что большей оси будет соответствовать больший коэффициент).

Также существует и мнимый эллипсоид - при условии, что сумма координат, помноженная на коэффициенты, равна -1:

Гиперболоиды

При появлении минуса в одной из констант уравнение эллипсоида превращается в уравнение однополостного гиперболоида. Надо понимать, что этот минус не обязательно должен располагаться перед координатой x 3 ! Он лишь определяет, какая из осей будет осью вращения гиперболоида (или параллельна ей, так как при появлении дополнительных слагаемых в квадрате (например, (x-2) 2) смещается центр фигуры, как следствие, поверхность перемещается параллельно осям координат). Это относится ко всем поверхностям 2 порядка.

Кроме этого, надо понимать, что уравнения представлены в каноническом виде и они могут быть изменены с помощью варьирования констант (с сохранением знака!); при этом их вид (гиперболоид, конус и так далее) останется тем же.

Такое уравнение задает уже двуполостный гиперболоид.

Коническая поверхность

В уравнении конуса единица отсутствует - равенство нулю.

Конусом называется только ограниченная коническая поверхность. На картинке ниже видно, что, по сути, на графике окажется два так называемых конуса.

Важное замечание: во всех рассматриваемых канонических уравнениях константы по умолчанию принимаются положительными. В ином случае знак может повлиять на итоговый график.

Координатные плоскости становятся плоскостями симметрии конуса, центр симметрии располагается в начале координат.

В уравнении мнимого конуса стоят только плюсы; ему принадлежит одна единственная вещественная точка.

Параболоиды

Поверхности 2 порядка в пространстве могут принимать различные формы даже при схожих уравнениях. К примеру, параболоиды бывают двух видов.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Эллиптический параболоид, при расположении оси Z перпендикулярно чертежу, будет проецироваться в эллипс.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Гиперболический параболоид: в сечениях плоскостями, параллельными ZY, будут получаться параболы, а в сечениях плоскостями, параллельными XY - гиперболы.

Пересекающиеся плоскости

Есть случаи, когда поверхности 2-ого порядка вырождаются в плоскости. Эти плоскости могут располагаться различными способами.

Сначала рассмотрим пересекающиеся плоскости:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

При такой модификации канонического уравнения получаются просто две пересекающиеся плоскости (мнимые!); все вещественные точки находятся на оси той координаты, которая отсутствует в уравнении (в каноническом - оси Z).

Параллельные плоскости

При наличии только одной координаты поверхности 2-го порядка вырождаются в пару параллельных плоскостей. Не забывайте, на месте игрека может стоять любая другая переменная; тогда будут получаться плоскости, параллельные другим осям.

В этом случае они становятся мнимыми.

Совпадающие плоскости

При таком простом уравнении пара плоскостей вырождается в одну - они совпадают.

Не забывайте, что в случае трехмерного базиса представленное выше уравнение не задает прямую y=0! В нем отсутствуют две другие переменные, но это всего лишь значит, что их значение постоянно и равно нулю.

Построение

Одной из самых сложных задач для студента является именно построение поверхностей 2 порядка. Еще более затруднительно переходить от одной системы координат к другой, учитывая углы наклона кривой относительно осей и смещение центра. Давайте повторим, как последовательно определить будущий вид чертежа аналитическим способом.

Чтобы построить поверхность 2 порядка, необходимо:

• привести уравнение к каноническому виду;
• определить вид исследуемой поверхности;
• построить, опираясь на значения коэффициентов.

Ниже представлены все рассмотренные виды:

Для закрепления подробно распишем один пример такого типа задания.

Примеры

Допустим, имеется уравнение:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Приведем его к каноническому виду. Выделим полные квадраты, то есть скомпонуем имеющиеся слагаемые таким образом, чтобы они были разложением квадрата суммы или разности. Например: если (a+1) 2 =a 2 +2a+1, то a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Мы будем проводить вторую операцию. Скобки в данном случае раскрывать не обязательно, так как это только усложнит вычисления, а вот вынести общий множитель 6 (в скобке с полным квадратом игрека) необходимо:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Переменная зэт встречается в этом случае только один раз - ее можно пока не трогать.

Анализируем уравнение на данном этапе: перед всеми неизвестными стоит знак «плюс»; при делении на шесть остается единица. Следовательно, перед нами уравнение, задающее эллипсоид.

Заметьте, что 144 было разложено на 150-6, после чего -6 перенесли вправо. Почему надо было сделать именно так? Очевидно, что самый большой делитель в данном примере -6, следовательно, чтобы после деления на него справа осталась единица, необходимо «отложить» от 144 именно 6 (о том, что справа должна оказаться единица, говорит наличие свободного члена - константы, не помноженной на неизвестную).

Поделим все на шесть и получим каноническое уравнение эллипсоида:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

В использованной ранее классификации поверхностей 2 порядка рассматривается частный случай, когда центр фигуры находится в начале координат. В данном примере он смещен.

Полагаем, что каждая скобка с неизвестными - это новая переменная. То есть: a=x-1, b=y+5, c=z. В новых координатах центр эллипсоида совпадает с точкой (0,0,0), следовательно, a=b=c=0, откуда: x=1, y=-5, z=0. В изначальных координатах центр фигуры лежит в точке (1,-5,0).

Эллипсоид будет получаться из двух эллипсов: первого в плоскости XY и второго в плоскости XZ (или YZ - это не имеет значения). Коэффициенты, на которые делятся переменные, стоят в каноническом уравнении в квадрате. Следовательно, в приведенном примере правильнее было бы делить на корень из двух, единицу и корень из трех.

Меньшая ось первого эллипса, параллельная оси Y, равняется двум. Большая ось, параллельная оси X - двум корням из двух. Меньшая ось второго эллипса, параллельная оси Y, остается той же - она равна двум. А большая ось, параллельная оси Z, равняется двум корням из трех.

С помощью полученных из первоначального уравнения путем преобразования к каноническому виду данных мы можем начертить эллипсоид.

Подводя итоги

Освещенная в этой статье тема довольно обширная, но, на самом деле, как вы можете теперь видеть, не очень сложная. Ее освоение, по сути, заканчивается на том моменте, когда вы заучиваете названия и уравнения поверхностей (и, конечно, как они выглядят). В примере выше мы подробно рассматривали каждый шаг, но приведение уравнения к каноническому виду требует минимальных познаний в высшей математике и не должно вызывать никаких затруднений у студента.

Анализ будущего графика по имеющемуся равенству уже более сложная задача. Но для ее удачного решения достаточно понимать, как строятся соответствующие кривые второго порядка - эллипсы, параболы и прочие.

Случаи вырождения - еще более простой раздел. Из-за отсутствия некоторых переменных упрощаются не только вычисления, как уже было сказано ранее, но и само построение.

Как только вы сможете уверенно назвать все виды поверхностей, варьировать постоянные, превращая график в ту или иную фигуру - тема будет освоена.

Успехов в обучении!

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)

Определение 1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная параллельными между собой прямыми, называемыми ее образующими .

Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрические поверхности, пересекает ее по линии Р , то эта линия называется направляющей этой цилиндрической поверхности.

Теорема . Если в пространстве введена декартова система координат и уравнение в плоскостихОу является уравнением некоторой линии Р , то это уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверхности L с направляющей линией Р , а образующие параллельны оси Oz (рис.3.19, а).

Доказательство . Точка
лежит на цилиндрической поверхностиL тогда и только тогда, когда проекция
точкиМ на плоскость хОу параллельно оси Oz лежит на линии Р , т.е. тогда и только тогда, когда выполняется уравнение
.

Аналогичные заключения имеют место для уравнений вида
(рис. 3.19, б) и
(рис.3.19, в).

Определение 2 . Цилиндрические поверхности, направляющими которых есть линии второго порядка, называются цилиндрическими поверхностями второго порядка .

Существуют три типа цилиндров второго порядка: эллиптический (рис.3.20)

, (5.42)

гиперболический (рис.3.21)

, (5.43)

параболический (рис.3.22)

. (5.44)

Рис. 3.20 Рис. 3.21 Рис. 3.22

Для цилиндров, заданных уравнениями (5.42), (5.43) и (5.44), направляющими линиями являются соответственно эллипс

,

гипербола

,

парабола

,

а образующие параллельны оси Oz .

Замечание . Как мы видели, конические и цилиндрические поверхности второго порядка имеют прямолинейные образующие, причем каждая из этих поверхностей может быть образована движением прямой в пространстве.

Оказывается, что среди всех поверхностей второго порядка, кроме цилиндра и конуса, прямолинейными образующими обладают еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, причем, так же, как и в случае цилиндра и конуса, обе эти поверхности могут быть образованы движением прямой в пространстве (см. специальную литературу).

§4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

В общем уравнении поверхности второго порядка

а) квадратичная форма

где
;

б) линейная форма

где
;

в) свободный член .

Чтобы привести уравнение (5.45) к каноническому виду, необходимо, в первую очередь, осуществить такое преобразование координат
, а, следовательно, и связанный с ней ортонормированный базис
, которое преобразует квадратичную форму (5.46) к каноническому виду (см. кн.2, гл.8, §3, п.3.1).

Матрица этой квадратичной формы имеет вид

,

где , т.е. матрицаА – симметрическая. Обозначим через
собственные числа, а через
ортонормированный базис, составленный из собственных векторов матрицыА. Пусть

–

матрица перехода от базиса
к базису
, а
– связанная с этим базисом новая система координат.

Тогда при преобразовании координат

(5.48)

квадратичная форма (5.46) примет канонический вид

где
.

Теперь, применяя преобразование координат (5.48) к линейной форме (5.47), получим

где
,
– новые коэффициенты формы (5.47).

Таким образом, уравнением (5.45) принимает вид

+.

Это уравнение может быть приведено к канонической форме с помощью параллельного переноса системы координат по формулам

или (5.49)

После осуществления преобразования системы координат путем параллельного переноса (5.49), общее уравнение поверхности второго порядка (5.45) относительно декартовой системы координат
будет выражать одну из следующих семнадцати поверхностей:

1) эллипсоид

2) мнимый эллипсоид

3) однополостный гиперболоид

4) двуполостной гиперболоид

5) конус

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид

8) гиперболический параболоид

9) эллиптический цилиндр

10) мнимый эллиптический цилиндр

11) две мнимые пересекающиеся плоскости

12) гиперболический цилиндр

13) две пересекающиеся плоскости

14) параболический цилиндр

15) две параллельные плоскости

16) две мнимые параллельные плоскости

17) две совпадающие плоскости

Пример. Определить вид и расположение поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат
и связанным с ней ортонормированным базисом
уравнением

Приведем квадратичную форму

(5.51)

к каноническому виду. Матрица этой формы имеет вид

.

Определим собственные числа этой матрицы из характеристического уравнения

Отсюда  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Теперь находим собственные векторы матрицы А : 1) пусть
, тогда из уравнения
или в координатной форме

находим , где
– любое число, и, следовательно,
, а
. Из всего множества коллинеарных вектороввыбираем вектор
, модуль которого
, т.е. нормируем вектор.

2) для
имеем

.

Отсюда
, где
– любое число. Тогда
, а
. Нормируя вектор, находим единичный вектор:

,

где
.

3)
, тогда для компонент
вектораимеем систему

Откуда , где
– любое число, и, следовательно,
, а
. Нормируя вектор, находим единичный вектордля направления, задаваемого вектором:

где
.

Перейдем теперь от ортонормированного базиса
к ортонормированному базису
, составленного из собственных векторов матрицыА и свяжем с последним базисом новую декартову прямоугольную систему координат
. Матрица перехода для такого преобразования имеет вид

,

а координаты преобразуются по формулам

(5.52)

Применяя данное преобразование координат к квадратичной форме (5.51), приведем ее к каноническому виду

, где
.

Определим теперь, какой вид имеет линейная формула

, где
,

если координаты преобразуются по формулам (5.52). Имеем

Таким образом, если систему координат
преобразовать по формулам (5.52), то относительно новой системы координат
рассматриваемая поверхность второго порядка задается уравнением

Уравнение (5.53) приводим к канонической форме с помощью параллельного переноса системы координат по формулам

после чего, уравнение поверхности относительно системы координат
принимает вид

или

Это уравнение выражает эллиптический цилиндр, направляющий эллипс которого расположен в координатной плоскости
, а образующие прямые параллельны оси

Замечание . Схема приведения общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, изложенная в этом параграфе, может быть примененена и к приведению общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.