255.

256.

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

258.

259.

1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260.

261.

2) Трое пошли — 3 гвоздя нашли. Четверо пойдут — много ли найдут?

262.*

263.*

264.

265. Старинная задача .

266. 1)

267.

268.

269.

270.

271.

272. .

273.*

274.* Старинная задача.

275. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников

276.* Старинная задача .

277. 1) Старинная задача . Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая — из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

Просмотр содержимого документа
«Задачи на прямую и обратную пропорциональность»

Задачи на прямую и обратную пропорциональность

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песка надо взять на:

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

261. 1) 3 петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

2) Трое пошли - 3 гвоздя нашли. Четверо пойдут - много ли найдут?

3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями

наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится пустой сосуд, если в него посадить 2 бактерии?

264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

265. Старинная задача . В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса.

266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

267. 1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько

дней выполнит такое же задание бригада из 5 человек?

268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, делает 50 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик - 4 детали.

1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

272. Из «Арифметики» А.П. Киселева . 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; за сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

273.* а) 6 маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу

б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?

274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

275. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвалплотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников

и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того

спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней? И плотник, недоумевая, спрашивает

тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

276.* Старинная задача . Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели

людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

277. 1) Старинная задача . Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая - из 30 человек - в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая - из 4 человек - за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

Задачи на прямую и обратную пропорциональность для трех и более величин

278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.

а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

б) 10 насосов за 10 мин выкачивают Ют воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 3360 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

283.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто имел 100 р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?

284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

286.* У хозяйки спросили:

Хорошо ли несутся Ваши куры?

Считайте сами, - был ответ, - полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.

Сколько яиц несут куры в день?

287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека - они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек - они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?

288.* Старинные задачи, а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?

289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева, а) Для освещения18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждойкомнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет горетьпо 3 лампы?

б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины,

20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Все задачи из данного раздела являются необяза­тельными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим уча­щимся.

1. 
   Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «оче­видный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой за­дачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания, записав кратко условие задачи:

Кур Дней Яиц

3 33
12 12 х

В ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз уве­личилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увели­чилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увели­чилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 4 4 = 48.

2. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

3. Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за арен­ду четырех классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

4. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколь­ко понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

5. (Старинная задача.) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в каче­стве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать го­ловоломные задачи.

6. (Из «Арифметики» АЛ. Киселева.) Для осве­щения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лам­пы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

7. (Старинная задача.) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины ка­нал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Цели урока:

• решение более сложных задач на пропорциональные величины («Сложное тройное правило»);
• развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их способности рассуждать, ставить вопросы и отвечать на них, т.е речи обучаемых;
• расширение кругозора при решении старинных практических (или правдоподобных) задач;
• формирование представлений о богатстве культурно – исторического наследия человечества.

Ход урока

I. Организационный момент:

Сегодня приступаем к решению более сложных, но не менее интересных задач на пропорциональные величины.

Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для последующего изучения математики.

Позже с помощью пропорций вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.

С чего же начинали?

1. Познакомились с понятиями «отношение», «пропорция»
   (отношение - ………., пропорция - ………(ожидаются ответы учащихся)
2. Научились решать пропорции и выяснили, что основной способ их решения должен опираться на ……. (основное свойство пропорций)
3. Научились выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними. (прямая или обратная зависимости)
4. Научились делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию (уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх)
   Но не забываем, что
5. разбирали способ решение задач вообще без пропорций (применению этого приёма должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении задач: во сколько раз увеличилась или уменьшилась величина?)

Будем продвигаться вперёд от простого к сложному.

II. Устная работа.

1. Из данных величин выберите те, которые являются прямой или обратной пропорциональностью:

а) длина стороны квадрата и периметр.
б) длина стороны квадрата и его площадь.
в) длина и ширина прямоугольника при заданной площади.
г) скорость автомобиля и путь, который он проедет за определённое время.
д) скорость туриста, идущего с турбазы на станцию, и время, за которое он дойдёт до станции.
е) возраст дерева и его высота.
ж) объём стального шарика и его масса.
з) число прочитанных страниц в книге и число страниц, которые осталось прочитать.

(Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.).

2. Разберём задачу:

Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц.

3. Рассмотрим задачи («провокационного характера»):

а) За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа.

б) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов.

в) * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покроется лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

(Решение: так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полностью покроется лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину, т.е. пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель)

III. Решение задач:

(условие задач предоставлено на доске)

Краткое условие и два способа решения предлагается очень быстро сделать учащимся на доске.

1 способ:

2 способ: количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше

Х=30*15/8=56р25к

2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?

На доске записано незаконченное краткое условие:

Дополнить условие и решить задачу двумя способами.

I вариант: пропорцией

II вариант: без пропорций

В это же время двое учащихся работают у доски.

I.

II. Х = 20*6 = 120 работников

3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?

Старинная задача.

(запись на доске)

(заполнение краткой записи учащимися)

Решить эту задачу без пропорции:

(Количество месяцев увеличивается в раз, значит количество солдат уменьшается в раз.

560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

Попробуем!!!

4. Возьмём задачу, которая предлагалась вам как дополнительная.

Задача из домашней работы.

Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Ответ у задачи получается ………?

Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:

Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

от увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.

Одну задачу, с шестью величинами, возьмите в качестве необязательного домашнего задания те учащиеся, которые любят распутывать головоломные задачи.

6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в
раз и от уменьшения ламп в раза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

IV. Итог урока.

Решали весь урок теперь уже почти забытые задачи. Двигались от простого к сложному. Было видно, что старинные задачи вызывают интерес, приятно наблюдать вашу упорную работу при решении задач, провели хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности.

Понятными кажутся объяснения, предлагаемые учителем, но вы должны и самостоятельно продвигаться вперёд.

V. Домашнее задание.

Синиц дней зерна

Х = 100: 10: 10 = 1кг

2. Старинная задача.

Дирхемов срок доход

3. * Дополнительная задача.

Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть

10 м, глубина 18 дм?

решение.

Типы задач

Типы задач.

Изучение задач по теме «Натуральные числа»

На китобойное судно подняли 6 взрослых китов в среднем по 150 т каждый, и отпилили им головы. Какое расстояние заняли бы все 6 китовых туш без голов, если длина взрослого кита составляет 18 м, а длина головы - 1/3 всего кита?

Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько тонн крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови?

Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет 12,5 мЗ чистых. Вычислить, сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду.

Сложение и вычитание натуральных чисел

Задачи нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили вместе?

В коллекции имеется 128 марок. Из них 93 российские, а остальные иностранные. На сколько в коллекции российских марок больше, чем иностранных,

Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. найдите задуманное число.

Для решения этой задачи можно использовать схематический рисунок 4, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной.

Рис.4 Решение задачи графическим способом.

Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. получили 200. найти задуманное число.

В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

Покупатель из 50 руб. в уплату за купленный товар отдал 30 руб. и получил 2 руб. сдачи. Сколько денег у него осталось?

Умножение и деление натуральных чисел

Задачи предназначены для повторения связи отношений «больше в...» и «меньше в...» с операциями умножения и деления. В некоторых из них решение затруднено добавлением шагов, связанных с отношениями «больше на...» и «меньше на...».

Число 48 увеличьте на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза. (Старинная задача.)

С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему надо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней?

Задачи на части

Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара. Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?

На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке,

Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными.

Задачи на движение по реке

Для успешного усвоения этого материала следует усвоить, что скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения.

На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В каком направлении течет река?

Костер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения реки. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч и против течения - за 4 ч. Найдите скорость течения.

Различные виды задач на движение

Традиционно трудными для учащихся являются задачи на движение. Для подведения их к понятию скорости удаления в задаче следует: найти расстояние между участниками движения в 3 действия, записать числовое выражение (например, 3-4 + 3-5), вынести общий множитель за скобки, задаться вопросом: что показывает сумма 4 + 5?

После этого нужно показать решение задачи в два действия с использованием скорости удаления. Аналогично вводится понятие -скорости сближения.

Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления).

Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. на сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения).

Задачи по теме «Рациональные числа»

Задачи на дроби являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для

обозначения дробей с числителем 1. единственным исключением

2 была дробь з 9 для которой имелось соответствующее обозначение.

В заключение отметим, что при решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью некоторых из обыкновенных дробей.

Задачи на дроби:

Задача 1. Было 600 рублей, 4 суммы истратили. Сколько денег истратили? Решение:

Чтобы найти 4 от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4:

600:4=150(руб.)

2 Задача 2. Было 1000 рублей, 5 этой суммы истратили. Сколько

денег истратили?

Решение:

Сначала найдем одну пятую от 1000 руб., а потом две пятых:

1)1000: 5 = 200 (руб.),

2) 200 2 = 400 (руб.)

Эти два действия можно объединить:

1000: 5-2 = 400 (руб.) 2

Чтобы найти 5 числа 1000, можно 1000 разделить на знаменатель

дроби и результат умножить на ее числитель.

Задачу 2 можно решить по правилу:

Если часть целого выражена дробью, то, чтобы найти эту часть,

можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить

на ее числитель.

Задача 3. Потратили 50 рублей это составило 6 первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег. Решение:

50 р. В 6 раз меньше первоначальной суммы, которая в 6 раз больше, чем 50 р. Чтобы найти эту сумму, надо 50 р. умножить на 6:

50 6 = 300 (р.).

2 Задача 4. Потратили 600 рублей, это составило 3

первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег.

Решение:

условию его две трети равны 600. Сначала найдем одну треть

первоначальной суммы, а потом и три третьих:

600: 2 - 300 (р.),

300 3 = 900 (р.).

Эти два действия можно объединить: 600: 2 3 = 900 (р.).

Чтобы найти число, 3 которого равны 600, можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на ее знаменатель. Задачу 4 можно решить по правилу:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на ее знаменатель.

Задачи на сложение и вычитание обыкновенных дробей

Больше внимания уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу, причем сначала ее лучше

представлять как 2 у з и т.п. величины.

2 3_

Задача 1. Первый тракторист вспахал? поля, второй - ? поля.

Вместе они вспахали 10 га. Определите площадь поля.

Задача 2. На ветке сидели воробьи. Когда третья часть улетела,

то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?

Для решения этой задачи целесообразно предложить учащимся

следующий чертеж:

Задача 3. До обеда токарь выполнил 8 задания, после обеда - 8 задания, после чего ему осталось выточить 24 детали. Сколько деталей он должен был выточить?

Задачи на умножение и деление обыкновенных дробей

Задача 1. Каждый день турист проходит з намеченного маршрута.

I Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за 2 дня; за 4 дня?

2 Задача 2. Найдите 5 числа 60.

3_ 4

Задача 3. Что больше 5 от 45 м или 5 от 30 м?

Задача 4. Найдите число, 5 которого равны 60.

Задачи на совместную работу

Задача 1. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма уткам и гусям вместе?

Задача 2. (Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.) Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь?

Задача 3. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады - за 18 дней; первая и третья бригады - за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Товарный поезд прошел 720 км со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч? Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения,

80 80

значит, с уменьшением скорости в 60 раза путь уменьшится в 60 раза.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (км).

Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно пропорциональны.

Задачи на пропорции.

Простые задачи на пропорции

Задача 1. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их купили в 2 раза меньше?

Задача 2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, каждый из которых в 2 раза дороже?

Задача 3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей. Сколько " тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

Задача 4. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км. Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

Задача 5. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 часа. За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста? Перейдем к решению задач с помощью пропорций.

Задача 6. За 6 часов поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 часа, если его скорость была постоянна? Потребуется краткая запись условия задачи:

В процессе устного обсуждения выяснили, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны.

Задача 7. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 40 км/ч?

Задача 8. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа?

Задача 9. Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

Задача 10. Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать.

Но увеличение одной страницы и уменьшение другой происходит не в одно и то же число раз.

Сложные задачи на пропорции

Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, а глубина 18 дм?

Длина канала увеличится от увеличения числа человек в 26 раза, от

30 18-

увеличения числа дней в 40 раза и от уменьшения ширины в 12 раза.

П£ 39 80 20 12 18

х = 96: -: -

26 40 10 10 12

Окончательно имеем х = 320.

Нахождение процента от числа

Задача 11. Товар стоил 5000 р. Его цена повысилась на 20%. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?

Задача 12. Банк выплачивает доход из расчета 2% вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили: 100 р.; 200 р.; 1000 р.; 12000 р.?

Задача 13. Желая блеснуть знанием процентов, Вася сказал, что 60% книга он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50% на этой. Вася не напутал?

Задача 14. В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки, Сколько мальчиков в школе?

Задача 15. Увеличьте число 200 на 10%. Полученное число уменьшите на 10%. Получится ли снова число 200? Почему?

Нахождение числа по его проценту

Задача 16. В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в магазин?

Задача 17. Найдите число, 110% которого равны 33.

Задача 18.60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку. Сколько учащихся в классе?

Задача 19. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена? 100 - 80 - 20 (%) - массы травы составляет масса сена; 4 0,2 = 0,8 (т) - сена получится из 4 т травы; 4: 0,2 = 20 (т) - травы надо накосить.

Нахождение процентного отношения

Задача 20. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

Задача 21. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

Задача 22. В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? пасмурные дни?

Задача 23. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?

Решение задач Подведение итогов занятия Ход занятия I. Организационный момент - страница №1/1

Задачи на прямую и обратную пропорциональность трех и более величин

Цель занятия: углубление знаний о способах решения задач на прямую и обратную пропорциональность

Задачи занятия:

• 
  Содействовать быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний, умений и способов действий в нестандартной ситуации
• 
  Создать условия для расширения кругозора учащихся при решении старинных практических задач

План занятия

1. 
   Организационный момент
2. 
   Устный счет
3. 
   Решение задач
4. 
   Подведение итогов занятия

Ход занятия

I. Организационный момент

1. Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

Мы в поход отправляемся смело

В мир загадок и сложных задач.

Не беда, что идти далеко,

Не боимся, что путь будет труден.

Достижения крупные людям

Никогда не давались легко.

2. Девизом сегодняшнего урока будут слова «Без муки нет науки».

3. А теперь разгадайте ребус

ПРОПОРЦИЯ
II. Устный счет

1 . к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше? б) в 2 раза меньше?

2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже? б) в 2 раза дешевле?

3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

III. Решение задач

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

Попробуем!!!

Задача 1. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Ответ у задачи получается ………?

Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:

Куриц	дней	яиц
3	3	3
12	12	х

В ходе диалога нужно выяснить:

Во сколько раз увеличилось число кур? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось? (увеличилось в 4 раза)

Во сколько раз увеличилось число дней? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)

Х = 3*4*4 =48(яиц)

Задача 2 (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона)
Исаак Ньютон - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы. В своей «Универсальной арифметике» Ньютон выразил убеждение, что «при изучении наук примеры полезнее, чем правила». Универсальная арифметика Ньютона стала самым распространенным в России учебником второй половины 18 века.

Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

от увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.

Задача 3 (из «Арифметики» А.П. Киселёва).

Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
Киселев Андрей Петрович - российский, советский педагог, законодатель школьной математики. «Арифметика» Киселёва - первый школьный учебник по арифметике, вышел в 1884 г. В 1938 г.Он был утвержден в качестве учебника арифметики для 5-6 классов средней школы. Учебник арифметики Киселёва выдержал 29 изданий до революции (более чем миллионный тираж) плюс ещё 10 млн экземпляров, отпечатанных при жизни Киселева. С 2002 года издательство Физматлит переиздаёт классические учебники А. П. Киселёва.

Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в раз и от уменьшения ламп враза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

Задача 4(Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого ). Некто имел 100 р . в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
Леонтий Филиппович Магницкий - русский математик, педагог. Преподаватель, автор первой в России учебной энциклопедии по математике. Родился он в крестьянской семье, на берегу озера Селигер. «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого создавалась первоначально как учебник для будущих офицеров армии и флота. Магницкий в своем учебнике не только стремился доходчиво разъяснить математические правила, но и побудить у учеников интерес к учебе. Он постоянно на конкретных примерах из обыденной жизни, военной и морской практики подчеркивал важность знания математики.

Задача 5. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть 10 м, глубина 18 дм?

решение.

Х = 320

Задание 6: Прочитать тексты предложенных задач. Определите, является ли прямой пропорциональной или обратной пропорциональной зависимость между величинами. В столбце “П,О” представленной ниже таблицы поставьте букву «П», если зависимость прямая, букву “О”, если зависимость обратная и прочерк, если нет зависимости.

№	Тексты задач	П,О	+/-
1	8 однотипных деталей весят 28 кг. Сколько весят 27 таких же деталей?
2	В 300 кг сплава содержится 213 кг железа. Сколько железа содержится в 456 кг сплава?
3	Сколько весят 25 батонов белого хлеба? Если 16 батонов такого же белого хлеба весят 36 кг.
4	Для изготовления 24 КАМАЗов необходимо 156 т металла. Сколько металла необходимо для изготовления 36 таких же КАМАЗов?
5	7 маляров могли бы покрасить забор за 18 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 12 маляров?
6	Сумма двух чисел, одно из которых на 5 больше другого равна 240. Найдите эти числа.
7	Для приготовления супа “Харчо” на 3 стакана риса берут 500 г бульона. Сколько надо взять риса на 600 г бульона?
8	Теплоход за 13 ч проплыл по реке 38,6 км. Какое расстояние он проплывет за 9 ч?
9	Для выживания 12 человек покупают 36 кг продуктов. Сколько необходимо продуктов для выживания 64 человек?
10	Строительные работы могут выполнить 20 рабочих за 13 дней. Сколько нужно рабочих, чтобы выполнить те же работы за 7 дней?
11	Для варки варенья из винограда на 16 кг ягод берут 6 кг сахарного песку. Сколько сахарного песку надо взять на 34 кг ягод?
12	В 1000 г раствора содержится 8 г соли. Сколько соли содержится в 300 г раствора?
Ответы: п п п п о н п п п о п п

Старинная задача 7. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении - в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.

Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.

96 26 40 12 20 12

х 39 80 10 10 18

Длина канала увеличится от

увеличения числа человек в 39 / 26 раза, х = 96· 39 / 26

от увеличения числа дней в 80 / 40 раза х = 96· 39 / 26 · 80 / 40

и от уменьшения ширины в 20 / 10 раза; х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 .

Длина канала уменьшится от

уменьшения числа часов в 12 / 10 раза и х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10

и от увеличения глубины в 18 / 12 раза: х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12 .

Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.
IV . Подведение итогов занятия. Рефлексия
Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет.

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.