Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения , поэтому .

Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

Если - действительные корни характеристического уравнения, то .

Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле или .

Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то .

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение .

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения . В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений . Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) его n частных решений.
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения . Общее решение y (x ) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Док-во . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y чо (x ) этого уравнения содержится в формуле y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n . Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C 1 , C 2 , …, C n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C 1 , C 2 , …, C n и сравним её с функцией y чо (x ). Функции y (x ) и y чо (x ) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x 0 , следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y чо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n . Осталось доказать, что эта размерность не меньше n .
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Док-во . Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ : , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения :

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные . Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн
Поиск фундаментальной системы решений в общем случае является достаточно трудной задачей. Тем не менее, есть класс уравнений, для которого эта задача достаточно легко решается. К изучению этого класса мы и приступаем.
(*)

Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть a i (x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = e rx . Тогда y" = r·e rx , y"" = r 2 ·e rx ,…, y (n) = r n ·e rx . Подставляя в (6), получаем

Так как e rx нигде в нуль не обращается, то
. (7)
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами .
Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема. Функция y = e rx является решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) тогда и только тогда, когда r есть корень характеристического уравнения (7).
Возможны ниже следующие случаи.
1. Все корни характеристического многочлена вещественны и различны. Обозначим их r 1 ,r 2 ,…,r n . Тогда получим n различных решений
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
уравнения (6). Докажем, что полученная система решений линейно независима. Рассмотрим её определитель Вронского

.

Множитель e (r 1+ r 2+..+ rn) x в правой части W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) нигде в нуль не обращается. Поэтому осталось показать, что второй сомножитель (определитель) не равен нулю. Допустим, что

Тогда строки этого определителя линейно зависимы, т. е. существуют числа α 1 , α 2 , …, α n такие, что
Таким образом, мы получили, что r i , i = 1,2,..,n есть n различных корней полинома (n-1)-й степени, что невозможно. Следовательно, определитель в правой части W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) не равен нулю и система функций (8) образует фундаментальную систему решений уравнения (6) в случае, когда корни характеристичес-кого уравнения различны.

Пример . Для уравнения y""-3y" + 2y=0 корни характеристического уравнения r 2 - 3r + 2 = 0 равны r 1 = 1, r 2 = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y 1 = e x , y 2 = e 2 x , а общее решение записывается в виде y = C 1 e x + C 2 e 2 x .
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r 1 имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r 1 = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид

так как в противном случае не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x 2 , …, x α-1 . (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим

.

Это определитель треугольного вида с отличными от нуля элементами, стоящими на главной диагонали. Поэтому он отличен от нуля, что и доказывает линейную независимость системы функций (9). Заметим, что в одном из примеров предыдущего параграфа мы доказывали линейную независимость системы функций (9) другим способом. Пусть теперь корнем характеристического уравнения кратности α является число r 1 ≠0. Произведём в уравнении (6) L(y) = 0 замену y = ze r 1 x = z exp(r 1 x). Тогда

и так далее. Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, снова получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
(0)
с характеристическим уравнением
. (1)
Отметим, что если k - корень характеристического уравнения (1), то z = e kx - решение уравнения (0), а y = ye r 1 x = e (k + r 1) x является решением уравнения (6). Тогда r=k+r 1 - корень характеристического уравнения (7). С другой стороны, уравнение (6) может быть получено из уравнения (0) обратной заменой z = ye - r 1 x и поэтому каждому корню характеристического уравнения (7) соответствует корень k = r - r 1 характеристического уравнения (1). Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между корнями характеристических уравнений (7) и (1), причём различным корням одного уравнения соответствуют различные корни другого. Так как r = r 1 - корень кратности α уравнения (7), то уравнение (1) имеет k=0 корнем кратности α. По доказанному ранее, уравнение (0) имеет α линейно независимых решений
которым соответствует α линейно независимых решений
(2)
уравнения (7). Присоединяя полученную систему решений (2) к n- α решениям, соответствующим остальным корням характеристического уравнения, получим фундаментальную систему решений для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае наличия кратных корней.
Пример . Для уравнения y"""-4y""+4y" = 0 характеристическое уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y 1 = 1, y 2 = e 2 x , y 3 = xe 2 x , а общее решение имеет вид y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня r j = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число r k = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции и , l=0,1,.., α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации 3. Для уравнения y (4) + 8y"" + 16y =0 характеристическое уравнение r 4 +8r 2 +16=0 имеет r 1 = 2i, r 2 = -2i кратности 2, так как r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x, y 4 = xsin2x, а общее решение имеет вид y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x. Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые , поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений .

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов . Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо .

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

ЛДУ n-ого порядка- ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ии и ее производных и имеет вид

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y’+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x)

φ(x)≠0- ЛНОУ

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ур-е в приведенном виде

*если y 1 - решение ЛОУ, то С y 1, где С- произвольная постоянная также является решением этого ур-я.

*Сумма y 1 + y 2 решений ЛОУ является решением того же ур-я.

1 0 Линейная комбинация с произвольными постоянными реш-й y 1 , y 2 ,…, y m ЛОУ является реш-ем того же ур-я.

*если ЛОУ (1) с действительными коэффициентами p i (x)∈R имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x),то действительная часть этого решения Rey=u(x) и его мнимая часть Imy=v(x) в отдельности являются решениями одного и того же ур-я.

Ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) называются линейно зависимыми на некотором интервале (a,b), если существуют постоянные величины a1,a2,…,an≠0 такие, что для всех x интервала (a,b) справедливо тождество a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y’+a n y n (x)=0. Если ф-ии линейно завис.,то хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных.

Если же тождество справедливо лишь при a1=a2=…=an=0, то ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) называются линейно независимыми на интервале (a,b).

*если ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) линейно зависимы на интервале (a,b), то определитель(о. Вронского)

W(x)=W= =0 на этом интервале.

Условие линейной независимости частных решений:

* если линейно независимые ф-ии y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) являются решениями ЛОУ (1) с непрерывными на интервале (a,b) коэффициентами p i (x), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a,b) не= 0.

Общим решением ЛОУ (1) с непрерывными на (a,b) коэффициентами p i (x) (i=1,2,…,n) является линейная комбинация y оо = n линейно независимых на том же интервале частных решений y i с произвольными постоянными коэффициентами.

1 0 максимальное число линейно независимых решений ЛОУ равно его порядку.

ФСР- любые n независимых частных реш-й ЛОУ n-ого порядка.

*y oн =y oo +y чн

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

ЛНДУ решаются методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение однородного уравнения , имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение . Затем решение уравнения находится в виде , т.е. предполагается, что постоянные С явл ф-ми независимой переменной х. При этом ф-и С 1 (х) и С 2 (х) могут быть получены как решение системы

У он =у оо +у чн

максимальное число решений уравнения равно его порядку.

общее решение

44*. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений в случае простых корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).

Уравнение вида y"+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a

Если f(x)= 0, то уравнение называется однородным.

Если в ЛО ур-ии y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Все коэффициенты pi постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=e kx , где k- постоянная. Подставляя в ур-е

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Сокращая на e kx получаем так наз. Характеристическое ур-е

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Это ур-е n-ой cтепени определяет те значения k, При которых y= e kx является решение исходного ДУ с постоянными коэф-ами.

1.k 1 , k 2 ,…,k n –вещественные и различные

ФСР: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные

ФСР: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x