Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами отличаются от однородных уравнений присутствием в правой части хотя бы одного уравнения функции от независимой переменной . Как и в случае однородных уравнений, применение к неоднородным уравнениям общей теоремы о существовании и единственности решений не представляет большого труда.

§ 1. Общие сведения.

Пусть имеем систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка, содержащую уравнений:

(1)

где коэффициенты – действительныепостоянные числа; функции
,
,…,
, заданы ихотя бы одна из них не равна нулю; функции
,
,…,
– искомые функции переменной.

Если все функции
,
,…,
– состоят из сумм и произведений функций:


–многочлен степени
;


- число – действительное число; (2)


,
- число– действительное число.

то поиск частного решения проводится, как и в случае одного уравнения- го порядка с постоянными коэффициентами,методом неопределённых коэффициентов , но с некоторыми изменениями. Если правые части уравнений системы произвольные функции
,
,…,
, то применяют методвариации произвольных постоянных .

1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.

В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!

1.2. Запись общего решения системы линейных неоднородных уравнений.

Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:

==+=+=∙+∙+...+∙+, (3)

где обозначено: − общее решение заданной системы уравнений (1);− общее решение соответствующей однородной системы и− частное решение заданной системы уравнений (1), соответственно. Выражение=+напоминает теорему о форме записи общего решения линейного неоднородного уравнения- го порядка с постоянными коэффициентами. Её доказательство так же просто.

§ 2. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.

Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x ,y ,z :

(4)

где функции
,
,
– непрерывные функции переменной, заданы в соответствии с правилом (4) ихотя бы одна из них не равна нулю. Функции
,
,
– искомые решения.

Общий алгоритм решения неоднородного уравнения:

1 * . Записываем соответствующую неоднородной системе уравнений (4) однородную систему (без функций
,
,
):
(5)

и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе 12 методами).

2 * . Находим частное решение системы (4) однородную систему, учитывая конкретный набор функций
,
,
.

3 * . Записываем общее решение системы (4) в виде:=+. (6)

4 * . Находим решение системы (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Записанный алгоритм содержит величины: ,,, вычисление которых зависит и от набора функций:
,
,
, и от особенностей заданной системы (4). Не станем записывать общих формул, которые охватили бы самый общий набор функций
,
,
и получающихся выражений для вычисления функций:,,. Правила решения системы (4) вполне понятны из рассмотрения конкретных Примеров!

Пример 13 –01

Решение :

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (то есть без функции
= ):
=
= 0, откуда получаем:= – 3;= 2. =+, (1.1)

где =∙
=
∙
,=∙
=
∙
, (2.1)

2). Для определения векторов
,
составим систему уравнений:

(3.1)

Для характеристического корня
=– 3 система (3.1) имеет решение:
=. Для корня
= 2 система (3.1) имеет решение:
=.

Замечание : Решение системы (3.1) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.

3). С учетом полученных векторов
,
запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений:=∙∙
+∙∙
. (4.1)

4). Так как функция:
= – многочлен 1-й степени и образующее число=
не совпадает с характеристическими корнями:и=
, ее производные:=(5.1)

Подставляя выражения (5.1) в заданную систему уравнений, получаем систему тождеств:

(6.1)

Приравнивая коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:

при :
при:
, (7.1)

откуда: a =– ,b =– ,c =– , d =– .

5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

=+=∙∙
+∙∙
+
. (8.1)

Ответ : общее решение системы: =∙∙
+∙∙
+
.

Пример 13 –02 : Решить систему нелинейных уравнений:

Решение :

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функции
= ). Запишем характеристическое уравнение:
=
=0, откуда получаем:=
, =
. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:=+, (1.2)

где =∙
=
∙
, =∙
=
∙
. (2.2)

2). Для определения векторов
,
составим систему уравнений:

(3.2)

3). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=. Тогда можно записать:

=∙e (1– i ) t =
=
. (4.2)

4). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=. Аналогично получаем:

=∙e (1+ i ) t =
=
. (5.2)

то есть решения и(согласно выражениям (4.2) и (5.2)) комплексно-сопряженные.

=,=(6.2)

6). С учетом выражений (6.2) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: =
∙+
∙. (7.2)

7). Так как функция:
= – имеет специальный вид, ее образующее число
не совпадает с характеристическими корнямии, то частное решение заданной системы будем искать в виде:=, ее производные:=. (8.2)

8). Подставляя (8.2) в заданную систему, получаем систему тождеств:

откуда следует: =–1, =0. (9.2)

=+=
∙+∙
∙+∙=
∙. (10.2)

Ответ :Общее решение:=
∙.

Пример 13 –03 : Решить систему нелинейных уравнений:

Решение :

При решении данного Примера воспользуемся теоремой о суперпозиции применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, то есть позволяющие получить общее решение исходной системы:

образующее число: =
, (1a )

образующее число: =
, (1b)

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы уравнений (то есть без функции
и
):
=0, откуда получаем:==2 – корень кратности=2. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:

, и производные:
(2.3)

2). Подставляем (2.3) в однородную систему уравнений для заданной системы и получаем тождества:
(3.3)

3). Приравнивая в (3) коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:

при :
при:
, (4.3)

откуда: =, =–,==.

Замечание : решение системы (4.3) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.

4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:

(5.3)

5). Частное решение заданной системы уравнений, учитывая системы (1a ) и (1b), запишем в виде:
, (6.3)

6). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1a ), учитывая совпадение числа=
с кратным характеристическим корнем:

, (7.3)

7). Подставим в (1a ) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:

Из тождества найдем неопределенные коэффициенты, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :

при :
при:
(8.3)

при :
при:

откуда получаем:
,
==,==
. Учитывая выражение (7), получим частное решение для системы (1a ):
. (9.3)

8). Найдем частное решение неоднородной системы уравнений (1b ), учитывая, что число=
не совпадает с характеристическим корнем:
. (10.3)

9). Подставим в (1b ) выражение (10.3) и его производную: получим систему тождеств:

откуда: a =–3, b =–2. (11.3)

10). Учитывая выражение (10.3), получим частное решение для системы (1b ):

. (12.3)

11). Учитывая (9.3) и (12.3), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:

, (13.3)

12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

. (14.3)

Замечание : выражение (14) получено с «поглощением» числаm константой.

Ответ :Общее решение:=
∙
.

Пример 13 –04 : Решить систему нелинейных уравнений:

Решение :

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы уравнений (то есть без функций
=
и
=
):
=
=0, откуда получаем:= – i ; =i . В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:

где =∙
=
∙
, =∙=
∙. (2.4)

2). Для определения векторов
,
составим систему уравнений:

(3.4)

3). Для
= – i система (3.4) имеет решение:
=. Тогда можно записать:

=∙
=
=
. (4.4)

4). Для
=i система (3.4) имеет решение:
=. Аналогично получаем:

=∙=
=
, (5.4)

то есть решения и(согласно выражениям (4.4) и (5.4)) комплексно-сопряженные.

5). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: =,=. (6.4)

6). С учетом выражений (6.4) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: =
+
. (7.4)

7). Так как функция:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее число
, причем совпадает с характеристическими корнямии, то частное решение заданной системы будем искать в виде:

=
. (8.4)

8). Подставляя (8.4) в заданную систему, получаем систему тождеств:

Приравнивая коэффициенты при подобных членах тождеств (9.4), получим алгебраическую систему уравнений, решением которой является: = –1,
= 0,
= 1. Тогда выражение (8.4) можно записать в виде:=
(10.4)

9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

=+=. (11.4)

Ответ :Общее решение:=.

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.

Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которая в векторной форме записывается в виде

Матрица Φ , столбцами которой являются n линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y" = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:

Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y" = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ" = A(x)Φ.

Напомним, что определитель Вронского линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) отличен от нуля на .

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:

Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t0, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0.

Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .

Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.

Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x" = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке }