Наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является искомым. Коэффициенты А. у. (1) предполагаются не все равными нулю. Если то наз. степенью уравнения.

Значения неизвестного х, к-рые удовлетворяют уравнению (1), т. е. при подстановке вместо хобращают уравнение в тождество, наз. корнями уравнения (1), а также корнями многочлена

f n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+a n . (2)

Корни многочлена связаны с его коэффициентами по формулам Виета (см. Виета теорема ). Решить уравнение - значит найти все его корни, лежащие в рассматриваемой области значений неизвестного.

Для приложений наиболее важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения - числа той или иной природы (напр., рациональные, действительные или комплексные). Рассматривается также и случай, когда коэффициенты и корни - элементы произвольного поля. Если данное число (или элемент поля) с - корень многочлена f n (х), то согласно Безу теореме f n (х).делится на х- с без остатка. Деление можно выполнять по Горнера схеме.

Число (или элемент поля) с наз. k-к ратным корнем многочлена f(x)(k - натуральное число), если f(x).делится на ( х- с ) k , но не делится на (x-с) k+1 . Корни кратности 1 наз. простыми корнями многочлена.

Каждый многочлен f(x).степени n>0 с коэффициентами из поля Римеет в Рне более пкорней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность (и, значит, не более празличных корней).

В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени пимеет ровно пкорней (считая их кратность). В частности, это справедливо для поля комплексных чисел.

Уравнение (1) степени пс коэффициентами из поля Рназ. неприводимым над полем Р, если многочлен (2) неприводим над этим полем, т. е. не может быть представлен в виде произведения других многочленов над полем Р, степени к-рых меньше п. В противном случае многочлен и соответствующее уравнение наз. приводимыми. Многочлены нулевой степени и сам не причисляются ни к приводимым, ни к неприводимым. Свойство данного многочлена быть приводимым или неприводимым над полем Рзависит от рассматриваемого поля. Так, многочлен х 2 -2 неприводим над полем рациональных чисел, т. к. иначе он имел бы рациональные корни, но приводим над полем действительных чисел: х 2 - 2=(х+ Ц2 )( х- Ц2 ) . Аналогично, многочлен х 2 + 1 неприводим над полем действительных чисел, но приводим над полем комплексных чисел. Вообще, над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены 1-й степени, и всякий многочлен может быть разложен на линейные множители. Над полем действительных чисел неприводимы только многочлены 1-й степени и многочлены 2-й степени, не имеющие действительных корней (и всякий многочлен разлагается в линейных и неприводимых квадратных многочленов). Над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любых степеней, таковы, напр., многочлены вида Неприводимость многочлена над полем рациональных чисел устанавливается критерием Эйзенштейна: если для многочлена (2) степени с целыми коэффициентами существует р такое, что старший не делится на р, все остальные коэффициенты делятся на , а свободный член не делится на то этот многочлен не-нриводим над полем рациональных чисел.

Пусть Р - произвольное поле. Для любого многочлена степени неприводимого над полем Р, существует такое расширение поля Р, в к-ром содержится хотя бы один корень многочлена более того, существует многочлена т. е. поля Р, в к-ром этот многочлен может быть разложен на линейные множители. Любое поле имеет алгебраически замкнутое .

Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Всякое А. у. степени, не превосходящей 4, решается в радикалах. Решение задач, приводящихся к частным видам уравнении 2-й и 3-й степеней, можно найти еще в древнем Вавилоне (2000 лет до н. э.) (см. Квадратное уравнение, Кубическое уравнение). Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге Диофанта «Арифметика» (3 в. н. э.). Решение в радикалах уравнений 3-Й л 4-Й степенен с буквенными коэффициентами было получено итальянскими математиками в 16 в. (см. Кардано , Феррари метод). В течение почти 300 лет после этого делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнение с буквенными коэффициентами 5-й и более высоких степеней. Наконец, в 1826 Н. Абель (N. Abel) доказал, что такое невозможно.

Современная формулировка теоремы Абеля: пусть (1) Ч уравнение степени с буквенными коэффициентами Ч любое поле и РЧ поле рациональных функций от с коэффициентами из К; тогда корни уравнения (1) (лежащие в нек-ром расширении поля Р) нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления (имеющих смысл в поле Р) и знаков корня (имеющих смысл в расширении поля Р). Иными словами, общее уравнение степени n>4 неразрешимо в радикалах (см. , с. 226).

Теорема Абеля не исключает, однако, того, что каждое А. у. с данными числовыми коэффициентами (или коэффициентами из данного поля) решается в радикалах. Уравнения любой степени пнек-рых частных видов решаются в радикалах (напр., двучленные уравнения). Полное решение вопроса о том, при каких условиях А. у. разрешимо в радикалах, было получено ок. 1830 Э. Галуа (Е. Galois).

Основная Галуа теории о разрешимости А. у. в радикалах формулируется следующим образом: пусть Ч многочлен с коэффициентами из поля K, неприводимый над K; тогда: 1) если хотя бы один корень уравнения выражается в радикалах через коэффициенты этого уравнения, причем показатели радикалов не делятся на характеристику ноля K, то Галуа этого уравнения над полем Кразрешима; 2) обратно, если группа Галуа уравнения f(x) = Q над полем Кразрешима, причем K или равна нулю, или больше всех порядков композиционных факторов этой группы, то все корни уравнения представляются в радикалах через его коэффициенты, причем все показатели встречающихся радикалов Ч простые числа, а соответствующие этим радикалам двучленные уравнения неприводимы над полями, к к-рым эти присоединяются.

Э. Галуа доказал эту теорему для случая, когда К Ч поле рациональных чисел; при этом все условия на характеристику поля K, содержащиеся в формулировке теоремы, становятся ненужными.

Теорема Абеля является следствием теоремы Галуа, так как группа Галуа уравнения степени пс буквенными коэффициентами над полем Ррациональных функции от коэффициентов уравнения с коэффициентами из любого поля КЧ симметрич. группа и при неразрешима. Для любого существуют уравнения степени пс рациональными (и даже целыми) коэффициентами, неразрешимые в радикалах. Примером такого уравнения для может служить уравнение , где рЧ простое число. В теории Галуа применяется метод сведения решения данного А. у. к цепочке более простых уравнений, наз. резольвентами данного уравнения.

Разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрич. построениях с помощью циркуля и линейки, в частности задача о делении окружности на n равных частей (см. Деления круга многочлен, Первообразный корень).

Алгебраические уравнения с одним неизвестным с числовыми коэффициентами. Для отыскания корней А. у. с коэффициентами из поля действительных или комплексных чисел степени выше 2-й, как правило, используются методы приближенных вычислений (напр., Парабол метод). При этом удобно сначала освободиться от кратных корней. Число с является k-кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен и его производные до порядка kЧ 1 включительно обращаются в нуль при . Если разделить на наибольший общий делитель этого многочлена и его производной, то получится многочлен, имеющий те же корни, что и многочлен , но только первой кратности. Можно даже построить многочлены, имеющие в качестве простых корней все корни многочлена одинаковой кратности. Многочлен имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Часто возникают задачи определения границ и числа корней. За верхнюю границу модулей всех корней (как действительных, так и комплексных) А. у. (1) с любыми комплексными коэффициентами можно взять число

В случае действительных коэффициентов более точную границу обычно дает Ньютона метод. К определению верхней границы положительных корней сводится определение нижней границы положительных, а также верхней и нижней границ отрицательных корней.

Для определения числа действительных корней проще всего применить Декарта теорему. Если известно, что все корни данного многочлена действительны (как, напр., для характеристич. многочлена действительной симметрич. матрицы), то теорема Декарта дает точное число корней. Рассматривая многочлен , можно с помощью этой же теоремы найти число отрицательных корней . Точное число действительных корней, лежащих на данном интервале (в частности, число всех действительных корней) многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней, можно найти по Штурма правилу. Теорема Декарта является частным случаем Бюдана Ч Фурье теоремы, дающей оценку сверху числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами, заключенных в нек-ром фиксированном интервале.

Иногда интересуются разысканием корней специального вида, так, напр., критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы все корни уравнения (с комплексными коэффициентами) имели отрицательные действительные части (см. Рауса Ч Гурвица критерий).

Для многочлена с рациональными коэффициентами существует метод вычисления всех его рациональных корней. Многочлен с рациональными коэффициентами имеет те же корни, что и многочлен с целыми коэффициентами, получающийся из умножением на общее всех знаменателей коэффициентов Рациональными корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только те несократимые дроби вида , у к-рых рЧ числа , а Ч делитель числа (и даже только те из этих дробей, для к-рых при любом целом число делится на ).

Если , то все рациональные корни многочлена (если они у него вообще есть) Ч целые числа, являющиеся делителями свободного члена, и могут быть найдены перебором.

Системы алгебраических уравнений. О системах А. у. 1-й степени см. Линейное уравнение.

Систему двух А. у. любых степеней с двумя неизвестными х и у можно записать в виде:

где Ч многочлены от одного неизвестного х.

Если хпридать нек-рое числовое значение, получится система двух уравнений от одного неизвестного ус постоянными коэффициентами . Результантом этой системы будет следующий определитель:

Справедливо утверждение: число тогда и только тогда является корнем результанта , когда или многочлены и имеют общий корень , или оба старших коэффициента и равны нулю.

Таким образом, для решения системы (3) надо найти все корни результанта , подставить каждый из этих корней в систему (3) и найти общие корни этих двух уравнений с одним неизвестным у. Кроме того, надо найти общие корни двух многочленов и и также подставить их в систему (3) и проверить, не имеют ли полученные уравнения с одним неизвестным уобщих корней. Иными словами, решение системы двух А. у. с двумя неизвестными сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным и вычислению общих корней двух уравнений с одним неизвестным (общие корни двух или нескольких многочленов с одним неизвестным являются корнями их наибольшего общего делителя). - АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, которое можно преобразовать так, что в левой части будет многочлен от неизвестных, а в правой нуль. Степень многочлена называется степенью уравнения. Простейшие алгебраические уравнения: линейное уравнение… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. Напр., x2+xy+y2 =x+1. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть преобразовано к виду aо + a1x + ... + anxn=0 … Большой Энциклопедический словарь

алгебраическое уравнение - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN polynomial equation … Справочник технического переводчика - ур ние, получающееся при приравнивании двух алгебр. выражений. Напр., х2 + ху + у2 = х+ 1. А. у. с одним неизвестным х может быть преобразовано к виду ао + а1х+ ...+аnхn = 0 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: . Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении… … Википедия

График полинома 6 й степени, с 5 критическими точками. Уравнение шестой степени это алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 6. В общем виде может быть записано следующим образом … Википедия

Транскрипт

1 Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0, коэффициентами уравнения (), порядком (или степенью) уравнения. Определение. Число называется решением (или корнем) уравнения (), если при подстановке числа в уравнение 0 P вместо получается верное равенство 0 P. В зависимости от коэффициентов уравнение () может иметь единственный действительный корень, несколько корней, или не иметь действительных корней. Решить уравнение значит найти все его корни (в школьном курсе рассматриваются только действительные решения) или доказать, что уравнение не имеет решений. и Будем рассматривать уравнение () при. Для (кубическое уравнение) имеются формулы корней уравнения 0 P в радикалах, известные под именем формул Кордано. При уравнение () неразрешимо в радикалах, т.е. решение уравнения 0 P при нельзя выразить через его коэффициенты 0, с помощью конечного числа арифметических операций (операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения арифметического корня). Доказательство этого утверждения впервые было получено норвежским математиком Абелем в 6 году. В отдельных случаях решение алгебраических уравнений высших степеней, в том числе третьей и четвертой, удается найти достаточно просто. Такая возможность полностью определяется коэффициентами, 0, многочлена P. Следствие из теоремы Безу. Если является корнем многочлена (P 0), то многочлен P делится на двучлен без остатка, т.е. существует многочлен такой, что P F F. P

2 «уголком». Уравнение () в этом случае равносильно совокупности уравнений Деление одного многочлена Уравнение 0, F 0. P на другой Q m, m, можно производить P степени может иметь не более действительных корней с учетом кратности. При этом уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Если действительные числа..., является корнями уравнения 0 то имеет место тождество P, Для уравнений высших степеней () справедлива теорема Виета, которую сформулируем в случае и. Если действительные числа, и являются корнями кубического уравнения 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d d, c, b. Если действительные числа, и являются корнями уравнения четвертой степени 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d e Если рациональное число 0 e, d, b. p, где p q q c, несократимая дробь, является корнем уравнения с целыми коэффициентами, то p должно быть делителем свободного члена

3 , а q делителем коэффициента 0 при старшей степени. В частности, целые корни 0 p приведенного уравнения 0 с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Это утверждение следует из последнего равенства в (.7) Если сумма всех коэффициентов уравнения 0 имеет корень. P равна нулю, то уравнение Например, сумма коэффициентов уравнения равна нулю, поэтому оно имеет корень. Если в уравнении сумма коэффициентов при нечетных степенях равна сумме свободного члена и коэффициентов при четных степенях, то уравнение имеет корень. Например, в уравнении имеем 6 7, поэтому корень данного уравнения. Рассмотрим отдельные классы алгебраических уравнений высших степеней и изучим методы их решения. Биквадратные уравнения. Определение. Биквадратным называется уравнение вида где 0. b c 0, () Для решения этого уравнения используется замена переменных y, где y 0. При этом получается квадратное уравнение y by c 0. Так как уравнение () является уравнением четвертой степени, то оно имеет не более четырех действительных корней. Если y и y - его решения, то исходное биквадратное уравнение будет равносильно совокупности: Метод подбора корня (корней). 0 y y. Если приведенное алгебраическое уравнение () с целыми коэффициентами имеет целые корни, то их нужно искать среди делителей свободного члена

4 уравнения (). Рациональные корни p 0 уравнения () с целыми коэффициентами q p следует искать среди чисел таких, что p является делителем свободного члена, q а q - делителем коэффициента 0 при старшей степени в уравнении (). Эти свойства лежат в основе метода подбора корней алгебраического уравнения. Пример. Решить уравнение 0. Решение. Данное уравнение является приведенным и имеет целые коэффициенты. Поэтому целые корни данного уравнения (если они есть) содержатся среди делителей свободного члена:,. Легко убедиться, что являет- ся корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни разделим многочлен на двучлен «уголком»: 0. Для уравнения 0 вновь подбором найдем корень, а затем разделим многочлен на двучлен: 0, Уравнение 0 действительных корней не имеет. Таким образом ис-

5 ходное уравнение -й степени имеет два действительных корня. Ответ.,. Метод замены переменных. Если при замене переменных исходное уравнение упрощается (например, понижается его степень), то смело вводим новую переменную. Пример. Решить уравнение. Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение 6 0, которое решать весьма сложно. Хотя оно и является уравнением с целыми коэффициентами, но целых корней как увидим ниже, оно не имеет. Поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную y и решим квадратное уравнение y y. Его корни: y и y. Соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений. Решим полученные квадратные уравнения.,. 0, D 0,. или 0, D 7 0, решений нет. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет два корня и. Ответ.,. Пример. Найти наибольший отрицательный корень уравнения 0. Решение. Подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом: домножим (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения

6 Заметим, что, и введем новую переменную y. В результате получим уравнение y y y 6 0, равносильное исходному. Подбором найдем его корни y, y и y, которым будут соответствовать корни исходного уравнения, и. Наибольшим отрицательным корнем является. Ответ. Наибольший отрицательный корень. Можно ввести еще одну переменную и рассмотреть квадратное уравнение относительно одной из полученных («старой» или «новой») переменных. Пример. Найти наименьший корень уравнения 6 0. Решение. Преобразуем исходное уравнение следующим образом: Введем новую переменную y 6 и получим уравнение 6 y y 0. Решим полученное уравнение как квадратное относительно y. y или y. D 6 y y 0, y, Вернемся к переменной, получим два квадратных уравнения.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9, Получили решения исходного уравнения. Выберем наименьшее из них. Так как 0 0, то 9., поэтому наименьшее решение. 9 0 Ответ. Наименьшее решение.. Возвратные уравнения Определение. Возвратным или симметричным называются уравнения вида 0 0, для которых равны коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, то есть при k 0,. k k Например, является возвратным, так как 0, 9, 6. Для возвратных уравнений верны следующие утверждения. Возвратное уравнение нечетной степени всегда имеет корень и после деления на двучлен приводится к возвратному уравнению четной степени. Возвратное уравнение четной степени может быть сведено к уравнению вдвое меньшей степени с помощью введения переменной y. Проиллюстрируем данные утверждения на примерах. Пример. Решить уравнение Решение. Нетрудно заметить, что данное уравнение является возвратным нечетной степени и, следовательно, имеет корень. Разделим многочлен на двучлен:

8 Остается решить возвратное уравнение -й степени Так как 0 не является корнем данного уравнения, то можно разделить обе части данного уравнения на Сделаем замену переменных т.е. y.. Получим y. Тогда y, Получим уравнение y 0y 6 0 (степень уравнения понизилась вдвое!) Решим квадратное уравнение y 0y 0. По теореме Виета числа y и y 6 являются его корнями. Имеем далее

9 0, 6 0, D 0, 6 0, 9,. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет корней:, и. Ответ., и. D Использование монотонности функций и других специальных приемов Для решения нестандартных алгебраических уравнений приходится привлекать различные приемы преобразование уравнения к равносильной форме, введение новых переменных, исследование функции Решение уравнений вида g f в составе уравнения 0 f и т.д. f иногда удобно строить на использовании свойства монотонности функций. В основе этого приема лежит следующая теорема. Теорема. Пусть уравнение f g определено на множестве X R ; функция f является монотонно возрастающей (убывающей) на X, а g монотонно убывающей (возрастающей). Если и E f, E g области значений f g на множестве X и E f Eg, то существует единственная точка 0 X такая, что g f, т.е. уравнение 0 0 f g имеет единственное решение. Данная теорема справедлива для любых уравнений вида g для алгебраических. Пример 6. Решить уравнение 96 E f. y f Eg 0 X g f, а не только Решение. Степенная функция y, N, определена на всей числовой прямой и является строго возрастающей функцией на R. Поэтому левая часть данного

10 уравнения f является строго возрастающей функцией на R как сумма двух строго возрастающих функций. Правая часть 96 g является тождественно постоянной. Поэтому в соответствии с теоремой.6 уравнение имеет единственное решение. Нетрудно видеть, что им является. Ответ.. Пример 7. Решить уравнение. Решение Y. Но Y для любого R и потому уравнение 0 Y, а значит и исходное (.), не имеет решения. Ответ.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Тема 5 Рациональные системы уравнений F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Система уравнений вида где... Fk (x, x,...,) 0, F i(x, x,...,), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Глава 7 Квадратные уравнения Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. На самом деле вавилонский метод дает решение системы + y =, представляющей собой запись задачи нахождения y = q, сторон

Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство (4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ Оглавление АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ алгебраических уравнений выше второй степени Многочлены и их корни Деление многочленов Схема деления углом

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то () < (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () > (). Например, () = > = = (), так

Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленное изучение) составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта, программой по алгебре

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Календарно-тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности урока Дата Раздел Тема урока Характеристика основных видов деятельности обучающихся 1 полугодие 65 уроков; 1 четверть

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется

Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Приложение к «Основной образовательной программе основного общего образования МБОУ СОШ 5» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Программа: Программы. Математика. 5-6 классы.

2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Пояснительная записка Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 0- классов составлена на основе примерной рабочей программы учителя

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса 1. Повторение материала 7 класса (6 часов). Алгебраические

Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа (M N) d () p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Глава I Алгебраические дроби 18 Глава II Квадратная функция. Функция. 14 Глава III Функция у = х. Свойства квадратного корня 12 Глава IV Квадратные уравнения 22 Глава V Действительные числа 11 Глава VI

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1 , а остаток через b n .

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + b n , то имеет место равенство

а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(х–a) + b n

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а 0 = b 0 и при 1 < k < n имеют место соотношения а k = b k - a b k-1 . Отсюда следует, что b 0 = а 0 и b k = а k + a b k-1 , 1 < k < n.

Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка b n запишем в виде таблицы:

	b 1 =а 1 + b 0	b 2 =а 2 + b 1		b n-1 =а n-1 + b n-2	b n = а n + b n-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

Ответ: Р(3) = 535

Упражнение

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р 5 (х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Доказательство: а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = 0

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

а 0 р n + а 1 р n-1 q+ … + а n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Перепишем (1) двумя способами:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

а 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Из равенства (2) следует, что a n q n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а 0 делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р 3 (х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р 3 (1) 0, Р 3 (–1) 0,

Р 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x 2 (2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Упражнения

Решить уравнения:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;

х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n-1 +Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у k , где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0

1) х + 1 = 0, х = -1;

2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 ? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у 1 = -1, у 2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х 1 = -1, ,

Упражнения

Решить уравнения.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной - самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

F(f(x)) = 0, (1)

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у 1 , у 2 , …, y n , … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у 1, f(x) = у 2 ,…, f(x) = у 2 , …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

• использование основного свойства дроби;
• выделение квадрата двучлена;
• переход к системе уравнений;
• раскрытие скобок парами;
• раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
• понижение степени уравнения;
• двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у 1 = 2, у 2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2

х 2 + х + 2 = -3

Решая первое, получим х 1 = 0, х 2 = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х 1 = 0, х 2 = -1,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 - 5х - 14)(х 2 - 5х + 4) = 40

Введем замену: х 2 - 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у 1 = -20, у 2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех 2 ,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.

Пример. (х - 1)(х - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х 2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 - 9х + 8)(х 2 - 6х + 8) = 4х 2 .

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х 1,2 = 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х 1,2 = 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b 1 х + c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2

Уравнение (ах 2 + b 1 х+ c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2 , где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, имеющее вид F(x 1 ,…,x m)=0, где F - многочлен от m переменных, которые называются неизвестными.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат фиксированному основному полю К. Решением алгебраического уравнения называется такой набор х * 1 ,..., х * m значений неизвестных из поля К (или его расширения), который после подстановки в многочлен F обращает его в нуль. Основной задачей теории алгебраического уравнения является выяснение условий, когда у заданного алгебраического уравнения имеется решение и описание множества всех решений.

Алгебраическое уравнения с одним неизвестным имеет вид

Предполагается, что n>0 и а 0 ≠ 0. Число n называется степенью уравнения, а числа а 0 , а 1 ..., а n - его коэффициентами. Значения неизвестного х, являющиеся решениями уравнения, называются его корнями, а также корнями многочлена F(х). Если α - корень уравнения (1), то многочлен F(х) делится без остатка на (х-α) (теорема Безу). Элемент α основного поля К (или его расширения) называется k-кратным корнем алгебраического уравнения, если многочлен F(х) делится на (х-α)к и не делится на (х-α)к+1. Корни кратности 1 называются также простыми корнями уравнения.

Каждый многочлен степени n с коэффициентами из поля К имеет в К не более n корней, считая корни с учётом их кратностей. Если поле К алгебраически замкнуто, то каждый такой многочлен имеет ровно n корней с учётом их кратностей. В частности, это верно для поля комплексных чисел С (основная теорема алгебры). Из теоремы Безу следует, что F(х) можно представить в виде

где α 1 ,.....α n - корни уравнения. Корни и коэффициенты уравнения связаны формулами Виета

Всякое уравнение степени n≤ 4 разрешается в радикалах. Это означает, что для корней уравнения имеются явные формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения и использующие лишь сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. В случае n=2 (квадратное уравнение) формулы имеют вид

Решения задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-й и 3-й степеней, встречаются в клинописных текстах Древнего Вавилона. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в «Арифметике» Диофанта (3 век). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней в общем виде было получено итальянскими математиками Дж. Кардано и Л. Феррари в 16 веке. Почти 300 лет делались попытки найти общее решение в радикалах уравнений степеней, больших 4. В 1826 году Н. Абелем было доказано, что это невозможно (однако не исключается возможность существования таких формул для конкретных уравнений степени n>4). Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах, было получено Э. Галуа (около 1830). Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с делением окружности на n равных частей, с доказательством невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.

Для приложений весьма важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения являются числами (из полей Z целых, Q рациональных, R действительных или С комплексных чисел); при этом часто используются специальные свойства этих полей (например, наличие в них топологии или упорядоченности). В этом случае с использованием специальных функций можно получить явные формулы для решения уравнений степени, большей 4.

Для практического нахождения корней уравнений с коэффициентами из R и С используют приближённые методы. Для оценки сверху числа действительных корней уравнений с действительными коэффициентами можно использовать теорему Декарта: число положительных корней, с учётом их кратностей, равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в последовательности ненулевых коэффициентов уравнения.

Имеются многочисленные оценки для величин корней. Так, над полем С величины |α i |, i = 1, ..., n, не превосходят

Если коэффициенты вещественны и а 0 ≥а 1 ≥ ... ≥a n ≥0, то все корни уравнения лежат на комплексной плоскости в единичном круге.

В связи с изучением вопроса об устойчивости механических систем возникает вопрос о том, когда все корни данного многочлена F(х) имеют отрицательные действительные части (проблема Рауса - Гурвица). Такие многочлены F называются устойчивыми. Основные результаты об устойчивых многочленах принадлежат Ш. Эрмиту, английскому учёному Э. Раусу, немецким математикам А. Гурвицу, И. Шуру.

Системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными изучаются в алгебраической геометрии. В отдельный раздел, теорию диофантовых уравнений, выделяется изучение алгебраических уравнений над незамкнутыми полями, такими, как поле Q.

Системой алгебраических уравнений называется система уравнений, имеющая вид

Системы уравнений степени 1 (линейных уравнений) изучаются в линейной алгебре.

Простейший результат о числе решений системы алгебраических уравнений относится к случаю, когда имеется k однородных уравнений от k + 1 переменной. Все решения х 1 * ,...,x x+1 k объединяются в классы решений λ 1 * ..., λх k+1 * , где λ≠0 принадлежит полю К. Тогда число ненулевых (классов) решений системы с учётом их кратностей в общем случае равно произведению степеней многочленов F 1 , ..., F k . Условие общности состоит в том, что коэффициенты многочленов F 1 , ..., F k не принадлежат некоторому алгебраическому многообразию в аффинном пространстве А коэффициентов, имеющем строго меньшую размерность, чем А (теорема Безу).

В случае, когда рассматриваются системы неоднородных алгебраических уравнений, для нахождения числа их решений необходимо использовать более тонкие инварианты, чем степень, а именно многогранники Ньютона. Если

где i=(i 1 ,..i n) Є Z n то многогранником Ньютона многочлена F называется выпуклая оболочка в пространстве R n точек i, для которых a i ≠ 0. Число решений системы арифметических уравнений выражается через многогранники Ньютона многочленов F 1 ,. . . ,F k .

Лит.: Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. М., 1965; Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1975; Кострикин А. И. Введение в алгебру. М., 1977; Постников М. М. Устойчивые многочлены. М., 1981; Фадеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. СПб., 2001.

И. В. Проскуряков, А. Н. Паршин.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Уравнения, имеющие в своем составе символ \[\sqrtх\], называются уравнениями с квадратным корнем. Квадратным корнем из неотрицательного числа \ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Число или выражение, находящееся под знаком корнем всегда должно быть неотрицательным.

Существуют разные способы решения таких уравнений:

Возведение числа в квадрат, умножив для этого число само на себя;

Упрощение корней, если такое возможно, убрав из него полные корни;

Использование мнимых чисел для получения корня чисел отрицательного характера;

Применение алгоритма деления в столбик;

И другие.

Решим для наглядности такое уравнение c квадратным корнем:

\[\sqrt (x-5) =3\]

Умножаем каждую часть уравнения саму на себя, чтобы избавиться от радикалов:

Теперь перед нами простейшее линейное уравнение, которое решается следующим образом:

Где можно решить алгебраическое уравнение онлайн?

Решить алгебраическое уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.