Планируемые результаты обучения математике в 5-6 классах

Арифметика

Понимать особенности десятичной системы счисления;

Использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел;

Выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;

Сравнивать и упорядочивать рациональные числа;

Выполнять вычисления с рациональными числами, соче­тая устные и письменные приёмы вычислений, применять калькулятор;

Использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами, в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выпол­нять несложные практические расчёты;

Анализировать графики зависимостей между величинами (расстояние, время; температура и т. п.).

Познакомиться с позиционными системами счисления с основаниями, отличными от 10;

Углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости;

Научиться использовать приёмы, рационализирующие вычисления, приобрести навык контролировать вычис­ления, выбирая подходящий для ситуации способ.

По окончании изучения курса учащийся научится:

· выполнять операции с числовыми выражениями;

· выполнять преобразования буквенных выражений (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых);

· решать линейные уравнения, решать текстовые задачи алгебраическим методом.

Учащийся получит возможность:

· развить представления о буквенных выражениях и их преобразованиях;

· овладеть специальными приёмами решения уравнений, применять аппарат уравнений для решения как текстовых, так и практических задач.

Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин

По окончании изучения курса учащийся научится:

Распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры и их элементы;

Строить углы, определять их градусную меру;

Распознавать и изображать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды, цилиндра и конуса;

Определять по линейным размерам развёртки фигуры линейные размеры самой фигуры и наоборот;

Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и куба.

Учащийся получит возможность:

Научиться вычислять объём пространственных геометрических фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов;

Углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах;

Научиться применять понятие развёртки для выполнения практических расчётов.

По окончании изучения курса учащийся научится:

Использовать простейшие способы представления и анализа статистических данных;

Решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций.

Учащийся получит возможность:

Приобрести первоначальный опыт организации сбора данных при проведении опроса общественного мнения, осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы, диаграммы;

Научиться некоторым специальным приёмам решения комбинаторных задач.

Арифметика

Натуральные числа

Ряд натуральных чисел. Десятичная запись натураль­ных чисел. Округление натуральных чисел.

Координатный луч.

Сравнение натуральных чисел. Сложение и вычитание натуральных чисел. Свойства сложения.

Умножение и деление натуральных чисел. Свойства умножения. Деление с остатком. Степень числа с натуральным показателем.

Делители и кратные натурального числа. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10.

Простые и составные числа. Разложение чисел на простые множители. „

Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Нахождение дроби от числа. Нахождение числа по значению его дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа.

Сравнение обыкновенных дробей и смешанных чисел. Арифметические действия с обыкновенными дробями и смешанными числами.

Десятичные дроби. Сравнение и округление десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Прикидки результатов вычислений. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной. Бесконечные периодические десятичные дроби. Десятичное приближение обыкновен­ной дроби.

Отношение. Процентное отношение двух чисел. Деление числа в данном отношении. Масштаб.

Пропорция. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Проценты. Нахождение процентов от числа. Нахождение числа по его процентам.

Решение текстовых задач арифметическими способами.

Рациональные числа

Положительные, отрицательные числа и число 0.

Противоположные числа. Модуль числа.

Целые числа. Рациональные числа. Сравнение рацио­нальных чисел. Арифметические действия с рациональ­ными числами. Свойства сложения и умножения рациональных чисел.

Координатная прямая. Координатная плоскость.

Величины. Зависимости между величинами

Единицы длины, площади, объёма, массы, времени, скорости.

Примеры зависимостей между величинами. Представление зависимостей в виде формул. Вычисления по формулам.

Числовые и буквенные выражения. Уравнения

Числовые выражения. Значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях. Буквенные выражения. Раскрытие скобок. Подобные слагаемые, приведение подобных слагаемых. Формулы.

Уравнения. Корень уравнения. Основные свойства уравнений. Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Элементы статистики, вероятности. Комбинаторные задачи

Представление данных в виде таблиц, круговых и столбчатых диаграмм, графиков.

Среднее арифметическое. Среднее значение величины.

Случайное событие. Достоверное и невозможное события. Вероятность случайного события. Решение комбинаторных задач.

Геометрические фигуры. Измерения геометрических величин

Отрезок. Построение отрезка. Длина отрезка, ломаной. Измерение длины отрезка, построение отрезка заданной длины. Периметр многоугольника. Плоскость. Прямая. Луч.

Угол. Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и по­строение углов с помощью транспортира.

Прямоугольник. Квадрат. Треугольник. Виды треугольников. Окружность и круг. Длина окружности. Число.

Равенство фигур. Понятие и свойства площади. Площадь прямоугольника и квадрата. Площадь круга. Ось симметрии фигуры.

Наглядные представления о пространственных фигурах: прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, цилиндр, конус, шар, сфера. Примеры развёрток многогранников, цилиндра, конуса. Понятие и свойства объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда и куба.

Взаимное расположение двух прямых. Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые.

Осевая и центральная симметрии.

Регрессионного анализа

Обработка результатов эксперимента методом

При изучении процессов функционирования сложных систем приходится иметь дело с целым рядом одновременно действующих случайных величин. Для уяснения механизма явлений, причинно-следственных связей между элементами системы и т.д., по полученным наблюдениям мы пытаемся установить взаимоотношения этих величин.

В математическом анализе зависимость, например, между двумя величинами выражается понятием функции

где каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой. Такая зависимость носит название функциональной .

Гораздо сложнее обстоит дело с понятием зависимости случайных величин. Как правило, между случайными величинами (случайными факторами), определяющими процесс функционирования сложных систем, обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой. Такая связь называется стохастической , или вероятностной . При этом величину изменения случайного фактора Y , соответствующую изменению величины Х , можно разбить на два компонента. Первый связан с зависимостью Y от X , а второй с влиянием "собственных" случайных составляющих величин Y и X . Если первый компонент отсутствует, то случайные величины Y и X являются независимыми. Если отсутствует второй компонент, то Y и X зависят функционально. При наличии обоих компонент соотношение между ними определяет силу или тесноту связи между случайными величинами Y и X .

Существуют различные показатели, которые характеризуют те или иные стороны стохастической связи. Так, линейную зависимость между случайными величинами X и Y определяет коэффициент корреляции.

где – математические ожидания случайных величин X и Y .

– средние квадратические отклонения случайных величин X и Y .

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Если случайные величины X и Y связаны строгой линейной функциональной зависимостью, например,

y=b 0 +b 1 x 1 ,

то коэффициент корреляции будет равен ; причем знак соответствует знаку коэффициента b 1 .Если величины X и Y связаны произвольной стохастической зависимостью, то коэффициент корреляции будет изменяться в пределах

Следует подчеркнуть, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Однако коэффициент корреляции как показатель зависимости между случайными величинами обладает серьезными недостатками. Во-первых, из равенства r = 0 не следует независимость случайных величин X и Y (за исключением случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения, для которых r = 0 означает одновременно и отсутствие всякой зависимости). Во- вторых, крайние значения также не очень полезны, так как соответствуют не всякой функциональной зависимости, а только строго линейной.

Полное описание зависимости Y от X , и притом выраженное в точных функциональных соотношениях, можно получить, зная условную функцию распределения .

Следует отметить, что при этом одна из наблюдаемых переменных величин считается неслучайной. Фиксируя одновременно значения двух случайных величин X и Y , мы при сопоставлении их значений можем отнести все ошибки лишь к величине Y . Таким образом, ошибка наблюдения будет складываться из собственной случайной ошибки величины Y и из ошибки сопоставления, возникающей из-за того, что с величиной Y сопоставляется не совсем то значение X , которое имело место на самом деле.

Однако отыскание условной функции распределения, как правило, оказывается весьма сложной задачей. Наиболее просто исследовать зависимость между Х и Y при нормальном распределении Y , так как оно полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. В этом случае для описания зависимости Y от X не нужно строить условную функцию распределения, а достаточно лишь указать, как при изменении параметра X изменяются математическое ожидание и дисперсия величины Y .

Таким образом, мы приходим к необходимости отыскания только двух функций:

(3.2)

Зависимость условной дисперсии D от параметра Х носит название сходастической зависимости. Она характеризует изменение точности методики наблюдений при изменении параметра и используется достаточно редко.

Зависимость условного математического ожидания M от X носит название регрессии , она дает истинную зависимость величин Х и У , лишенную всех случайных наслоений. Поэтому идеальной целью всяких исследований зависимых величин является отыскание уравнения регрессии, а дисперсия используется лишь для оценки точности полученного результата.

Моделирование зависимостей

между величинами

«Единственный путь, который ведет к знаниям – это ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ» Б. Шоу

Назвался груздем – полезай

в кузов

Как аукнется - так и откликнется.

Значение

• Имя: смысловое (давление газа, время) и символическое (P,t)
• Значение: постоянная величина (константа) или переменная
• Тип: числовой, символьный, логический

По способу представления

информационные

материальные

вербальные

знаковые

образные

компьютерные

некомпьютерные

Информационные модели

Ч и с л о в о й т и п

Математические Табличные Графические

Время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты

t(с) – время падения; H (м) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой

Давление газа в баллоне зависит от его температуры

P (н/м 2) – давление газа; t (°С) – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.

Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе

Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – масса примесей, содержащаяся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей

Математическая модель

Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики

Табличные и графические модели

Проверим закон свободного падения тела экспериментальным путем.

Будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время его падения.

Таблица и график результатов эксперимента

H, м

t, с

• Существует три способа моделирования числовых величин: функциональный (формула), табличный и графический;

• Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график

Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры

T= от 10 до 150 с шагом 10

Рефлексия

Цель : выявление уровня осознания содержания пройденного материала

Продолжите фразу:

• Сегодня я узнал…
• Я приобрел…
• У меня получилось …
• Я смог…
• Урок дал мне для жизни…
• Мне захотелось…
• Было интересно…
• Было трудно…
• Я выполнял задания…
• Самым сложным при выполнении задания для меня было…
• Самым простым при выполнении задания для меня было…
• Самым интересным при выполнении задания для меня было…

Рефле́ксия (от позднелат. reflexio - обращение назад) - это обращение внимания субъекта на самого себя и на своё сознание, в частности, на продукты собственной активности, а также какое-либо их переосмысление.

Домашнее задание

• Из окна дома на высоте 19,6 м брошена монета со скоростью 5 м/с. Определить время, через которое монета упадет на землю. Используя MS EXCEL, построить модель падения с изменением начальной скорости от 5 м/с до 20м/с

Шаг изменения скорости 1 м/с.

Результат отправить по адресу:

Первый слайд на экране.

Добрый день! Садитесь. Откроем рабочие тетради запишем сегодняшнее число и тему урока:

«Моделирование зависимостей между величинами». Откройте рабочие тетради запишите сегодняшнюю дату и название темы. А в качестве эпиграфа к уроку я хотел бы взять известную фразу лауреата Нобелевской премии в области литературы Джоржа Бернарда Шоу: «Единственный путь, который ведет к знаниям – это

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ»

Определите цель сегодняшнего урока. (Научиться моделировать зависимости между величинами).

что такое модель?

Упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, которое отражает его существенные свойства.

что такое моделирование?

Моделирование

Процесс построения моделей для исследования и изучения объектов, процессов или явлений;

Метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.

Какие вы знаете модели по способу их представления

Материальные и информационные

Какое стандартное программное обеспечение позволяет нам строить

информационные модели?

Майкрософт эксесс

Майкрософт эксель

Какое приложение из перечисленных включает в себя более развитый математический аппарат?

Майкрософт эксель

Как вы считаете каким стандартным программным обеспечением необходимо научиться пользоваться для получения результата обозначенного темой урока?

Майкрософт эксель

Второй слайд.

Итак, приступим. Перед вами на слайде пословицы:

4. Как аукнется - так и откликнется.

5. Назвался груздем - полезай в кузов.

Определите понятие, которое объединяет все эти пословицы.

ЗАВИСИМОСТЬ

На каких уроках вы встречались с этим понятием?

(на математике физике химии биологии информатике и т.д).

Какие бывают зависимости?

Зависимости бывают математические, физические социальные информационные и т.д.

Давайте определим понятие зависимость как вид связи между величинами, объектами и субъектами.

Запишите это определение. Отметьте что определение понятия зависимость может изменяться исходя из сферы применения этого понятия. (Например определение наркотической зависимости будет включать в себя составляющие отличные от составляющих информационной зависимости).

Отметим еще две существенные формы зависимости величин, имеющих

утилитарное значение

Это – функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y=f(x). Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической.

Разновидностью статистической зависимости является корреляционная зависимость, моделированием которой, мы займемся в следующей четверти.

Третий слайд

Определим понятие величина.

Что такое величина?

Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.

Запишем это определение и перечислим свойства величин.

Свойства величин:

Имя величины.

может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим.

Значение.

Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы - число Пифагора n =З,14159... Величина, меняющая свое значение, называется переменной.

определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический.

Поскольку при раскрытии темы урока мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа, описываемые математическими, табличными и графическими моделями.

Четвертый слайд

Слайд «Место информатики в системе наук»

Межпредметное значение информатики в значительной степени проявляется именно через внедрение компьютерного моделирования в различные научные и прикладные области: математику и физику, технику, биологию и медицину, экономику, управление и многие другие. С помощью компьютерного моделирования решаются многие научные и производственные задачи. Гибким инструментом для компьютерного моделирования является MS Excel.

Шестой слайд

Рассмотрим построение компьютерных моделей на

Примерах следующих зависимостей:

1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

2) давление зависит от температуры газа в баллоне;

3) частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей.

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления).

Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).

Кроме имен укажем размерности величин.

t (сек) - время падения; Н (ж) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек2) - константа.

Отметим что

Если зависимое между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Построить самостоятельно табличную и графическую модель процесса изменения давления газа, при изменении температуры.

Для того чтобы вспомнить основные принципы работы с MS Excel построим модель процесса падения тела с высоты.

Демонстрация на экране.

В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.

Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.

Сейчас вы выполните компьютерный тест.

Поднимите руки те, кто получил за тест 5.

Определите проблемные места.

и по завершении тестирования построите модель процесса изменения давления.

Исходные данные:

t меняется от 0 до 150 с шагом 10 ПРОВЕРИТЬ!!!

Коротко о главном

Величина - некоторая количественная характеристика объекта.

Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.

Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.

MS Excel явлется гибким доступным и понятным средством моделирования.

Вспомним цель, которую поставили в начале урока.

Достигли ее?

Все ли было понятно на уроке?-рефлексия

Вопросы и задания

1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?

б) Что такое математическая модель?

в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?

2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.

3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.

рочитеать &36. Ответить письменно на вопорсы после параграфа.

В начале урока будет проверка по созданию зависимости между величинами в программе Excel на время.