4. Примеры задач на геометрические места точек

1. Два колеса радиусов r 1 и r 2 катаются по прямой l. Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Решение:Пусть O 1 и O 2 - центры колес радиусов r 1 и r 2 соответственно. Если M - точка пересечения внутренних касательных, то O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Из этого условия легко получить, что расстояние от точки M до прямой l равно 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Поэтому все точки пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой, параллельной прямой l и отстоящей от нее на расстояние 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

2. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Решение: Пусть окружность с центром O проходит через данные точки A и B. Поскольку OA = OB (как радиусы одной окружности), точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Обратно, каждая точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от точек A и B. Значит, точка O - центр окружности, проходящей через точки A и B.

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD площади S не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырехугольника, для которых S ABX + S CDX = S/2.

Решение: Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Отложим на лучах OA и OD отрезки OK и OL, равные AB и CD соответственно. Тогда S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL . Следовательно, площадь треугольника KXL постоянна, т. е. точка X лежит на прямой, параллельной KL.

4. На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

Решение: Введем систему координат, выбрав точку A в качестве начала координат и направив ось Ox по лучу AB. Пусть точка M имеет координаты (x, y). Тогда AM 2 = x 2 + y 2 и BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , где a = AB. Поэтому AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Эта величина равна k для точек M с координатами ((a 2 + k)/2a, y); все такие точки лежат на прямой, перпендикулярной AB.

5. Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX + BX = CX + DX.

Решение: Пусть l - прямая, проходящая через середины сторон BC и AD. Предположим, что точка X не лежит на прямой l, например что точки A и X лежат по одну сторону от прямой l. Тогда AX < DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

6. Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые постоянна.

Решение: Пусть a и b - единичные векторы, параллельные данным прямым; x равен вектору ох. Сумма длин проекций вектора x на данные прямые равна |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, причем смена знака происходит на перпендикулярах, восставленных из точки O к данным прямым. Поэтому искомое ГМТ - прямоугольник, стороны которого параллельны биссектрисам углов между данными прямыми, а вершины лежат на указанных перпендикулярах.

7. Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M проводятся всевозможные окружности S 1 , пересекающие окружность S; X - точка пересечения касательной в точке M к окружности S 1 с продолжением общей хорды окружностей S и S 1 . Найдите ГМТ X.

Решение: Пусть A и B - точки пересечения окружностей S и S 1 . Тогда XM 2 = XA . XB = XO 2 - R 2 , где O и R - центр и радиус окружности S. Поэтому XO 2 - XM 2 = R 2 , а значит, точки X лежат на перпендикуляре к прямой OM.

8. Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

Решение: Пусть O 1 и O 2 - центры данных окружностей, R 1 и R 2 - их радиусы. Окружность радиуса r с центром X пересекает первую окружность в диаметрально противоположных точках тогда и только тогда, когда r 2 = XO 1 2 + R 1 2 , поэтому искомое ГМТ состоит из таких точек X, что XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2 , все такие точки X лежат на прямой, перпендикулярной O 1 O 2 .

9. Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.

Решение:Пусть O - центр окружности, R - ее радиус, M - точка пересечения касательных, проведенных через концы хорды, содержащей точку A, P - середина этой хорды. Тогда OP * OM = R 2 и OP = OA cos f, где f = AOP. Поэтому AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2 , а значит, величина OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 постоянна. Следовательно, все точки M лежат на прямой, перпендикулярной OA.

10. Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что AMD + BMC = 180 o .

Решение: Пусть N - такая точка, что вектора MN = DA. Тогда NAM = DMA и NBM = BMC, поэтому четырехугольник AMBN вписанный. Диагонали вписанного четырехугольника AMBN равны, поэтому AM| BN или BM| AN. В первом случае AMD = MAN = AMB, а во втором случае BMC = MBN = BMA. Если AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o и точка M лежит на диагонали AC, а если BMA = BMC, то точка M лежит на диагонали BD. Ясно также, что если точка M лежит на одной из диагоналей, то AMD + BMC = 180 o .

11. а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что величина AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 не зависит от выбора точки X.

б) Четырехугольник ABCD не является параллелограммом. Докажите, что все точки X, удовлетворяющие соотношению AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 , лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Решение: Пусть P и Q - середины диагоналей AC и BD. Тогда AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 и BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, поэтому в задаче б) искомое ГМТ состоит из таких точек X, что PX 2 - QX 2 = (BD 2 - AC 2)/4, а в задаче a) P = Q, поэтому рассматриваемая величина равна (BD 2 - AC 2)/2.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.

2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 74.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 76.

5. Интернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm

Информационной причинности взаимодействий (нейтрализация энтропии), связанной с процессами отражения степеней упорядоченности (возбуждений), обладание универсальной системой пространственно-временных отношений, выделяют “абсолютный квант” в феноменальное явление физической природы. Он может быть неожиданным материальным воплощением той начальной активной субстанции, которую объективный идеализм, ...

Q(у) такого сечения равна, где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла (Б) Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у. .Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных...

Геометрия - это наука, изучающая пространственные отношения и формы предметов.

Евклидова геометрия - это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом.

Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (стороны угла), исходящими из одной точки (вершина угла). Применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. Угол в 90° называется прямым; угол, меньший чем 90°, называется острым; угол, больший чем 90°, называется тупым.

Смежные углы - это углы, имеющие общую вершину и общую сторону; две другие стороны являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна 180°. Вертикальные углы - это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой, и обратно, прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образуются восемь углов, которые попарно называются: соответственные углы (эти углы попарно равны); внутренние накрест лежащие углы (они попарно равны); внешние накрест лежащие углы (они попарно равны); внутренние односторонние углы (их сумма равна 180°); внешние односторонние углы (их сумма равна 180°).

Теорема Фалеса . При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки.

Аксиомы геометрии . Аксиома принадлежности: через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну. Аксиома порядка: среди любых трех точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Aксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов: если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой. Аксиома параллельных прямых: через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда): для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1, A2, …, An, лежащих на прямой AB, таких что отрезки AA1, A1A2, …, An-1An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An.

Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником.
В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником, шестиугольником и т. д. Сумма длин называется периметром и обозначается p.
Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180°*(n-2), где n - число углов (или сторон) многоугольника.

Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник. Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:

Площадь прямоугольного треугольника :

Радиус вписанной окружности:

В произвольном треугольнике:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность:

где а - сторона, n - число сторон многоугольника, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности (апофема правильного многоугольника).

Площадь правильного многоугольника:

Длины сторон и диагоналей связаны формулой:

Основные свойства треугольников:

• против большей стороны лежит больший угол и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы и наоборот;
• сумма углов треугольника равна 180°;
• продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним;
• любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

Признаки равенства треугольников: треугольники равны, если равны:

• две стороны и угол между ними;
• два угла и прилегающая к ним сторона;
• три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

• равны их катеты;
• катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
• катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
• катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или ее продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника - снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Формула для высоты треугольника:

Медиана - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса - это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Формула для биссектрисы треугольника:

Срединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга. В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном - снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: c2 = a2 + b2.

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, где C - угол между сторонами a и b.

Четырехугольник - фигура, образованная четырьмя точками (вершинами), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырьмя последовательно соединяющими их отрезками (сторонами), которые не должны пересекаться.

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними - высотой.

Свойства параллелограмма:

• противоположные стороны параллелограмма равны;
• противоположные углы параллелограмма равны;
• диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам;
• сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.

Площадь параллелограмма:

Радиус вписанной в параллелограмм окружности:

Прямоугольник - это параллелограмм, все углы которого равны 90°.

Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (по теореме Пифагора).

Площадь прямоугольника: S = ab.

Диаметр прямоугольника:

Радиус описанной около прямоугольника окружности:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.

Площадь ромба выражается через диагонали:

Квадрат - это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно, следовательно, он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Площадь квадрата:

Радиус описанной около квадрата окружности:

Радиус вписанной в квадрат окружности:

Диагональ квадрата:

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называюся основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами. Расстояние между основаниями есть высота. Отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны.

Площадь трапеции: , где a и b - основания, h - высота.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из свойства трапеции, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из ее оснований превращается в точку.

Подобие плоских фигур . Если изменить все размеры плоской фигуры одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными. Два многоугольника подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

• все их соответственные углы равны (достаточно двух углов);
• все их стороны пропорциональны;
• две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон, диаметров).

Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определенным заданным условиям.

Окружность - это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается - r. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности называется дугой. Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром и обозначается d. Диаметр - это наибольшая хорда, по величине равная двум радиусам: d = 2r.

Где а - действительная, b - мнимая полуось.

Уравнение плоскости в пространстве:
Ax + By + Cz + D = 0,
где x, y, z - прямоугольные координаты переменной точки плоскости, A, B, C - постоянные числа.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка называется точкой касания.

Свойства касательной:

• касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания;
• из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны.

Сегмент - это часть круга, ограниченная дугой и соответствующей хордой. Длина перпендикуляра, проведенного из середины хорды до пересечения с дугой, называется высотой сегмента.

Сектор - это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.

Углы в круге . Центральный угол - угол, образованный двумя радиусами. Вписанный угол - это угол, образованный двумя хордами, проведенными из их одной общей точки. Описанный угол - угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки.

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Радианная мера любого угла - это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к ее радиусу.

Соотношения между элементами круга.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга, то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг, прямые.

Угол, образованный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

Угол, образованный касательной и секущей, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Описанный угол, образованный двумя касательными, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой пересечения, равны.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Хорда, перпендикулярная диаметру, делится в их точке пересечения пополам.

Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности. Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности. Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника, называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными, называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника эта возможность существует всегда.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырехугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180°. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная. Правильный многоугольник - это многоугольник с равными сторонами и углами.

Правильный четырехугольник - это квадрат; правильный треугольник - равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180°(n - 2)/n , где n - число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O, равноудаленная от всех его вершин, которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудален от всех его сторон. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема.

Основные аксиомы стереометрии.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести одну и только одну плоскость.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через две прямые не всегда можно провести плоскость, тогда эти прямые называются скрещивающимися.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся - нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезка, соединяющего ближайшие точки, расположенные на скрещивающихся прямых. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае говорят, что прямая и плоскость параллельны друг другу.

Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и ежащей на прямой, перпендикулярной плоскости.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проекцией отрезка на плоскость P является отрезок, концы которого являются проекциями точек данного отрезка.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная к ребру, дает в ее пересечении с полуплоскостями угол называемый линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Многогранный угол . Если через точку провести множество плоскостей, которые последовательно пересекаются друг с другом по прямым, то получим фигуру, называемую многогранным углом. Плоскости, образующие многогранный угол называются его гранями; прямые, по которым последовательно пересекаются грани называются ребрами многогранного угла. Минимальное количество граней многогранного угла равно трем.

Параллельные плоскости вырезают на ребрах многогранного угла, пропорциональные отрезки и образуют подобные многоугольники.

Признаки параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности плоскостей:

• Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
• Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Признаки перпендикулярности прямой и плоскости.
• Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

Признаки параллельности прямых в пространстве:

• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат xy:
ax + bx + c = 0, где a, b, c - постоянные числа, x и y -координаты переменной точки M(x,y) на прямой.

Признаки параллельности прямых:

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.

Многогранник - это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, их вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник - выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Куб - объемная фигура с шестью равными гранями.

Объем и площадь поверхности куба:

Призмой называется многогранник, две грани которого (основания призмы) - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - параллелограммы.

Отрезки, соединяющие соответствующие вершины, называются боковыми ребрами. Высота призмы - это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть, соответственно треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Площадь боковой поверхности прямой призмы:
S бок = P*H, где P - периметр основания, а H - высота.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней, и все они - параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Если четыре боковые грани параллелепипеда - прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его ребра a, b, c связаны соотношением d2 = a2 + b2 + c2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны.

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
V = a*b*c, S полн = 2(ab + ac + bc).

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) является произвольным многоугольником, а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть, соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Треугольная пирамида является тетраэдром, четырехугольная - пятигранником и т. д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота падает в центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключенное между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними - высотой. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, - правильная. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобочные трапеции.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
, где P - периметр основания; h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды).

Объем усеченной пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:
,
где P и P’ - периметры оснований; h - высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды).

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой, сохраняющей свое направление и пересекающейся с заданной линией (кривой). Эта линия называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Части этих плоскостей называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями - высота цилиндра. Цилиндр прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание - круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра.

Объем, площади боковой и полной поверхностей цилиндра:
,
где R - радиус оснований; H - высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Сечения, параллельные основанию, - круги того же радиуса.

Сечения, параллельные образующим цилиндра, - пары параллельных прямых.

Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим, - эллипсы.

Коническая поверхность образуется при движении прямой, проходящей все время через неподвижную точку, и пересекающей за данную линию, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими конической поверхности; точка - ее вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом, другая - его продолжением.

Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Конус - это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью, не проходящей через вершину.

Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, называется высотой конуса.

Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса:
,
где r - радиус; Sосн - площадь; P - длина окружности основания; L - длина образующей; H - высота конуса.

Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса:

Конические сечения.

Сечения кругового конуса, параллельные его основанию, - круги.

Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей, - эллипс.

Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих, - парабола.

Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей. В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конус).

Сферическая поверхность - это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферической поверхности.

Шар (сфера) - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара - круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.

Объем шара в полтора раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)= R2,
здесь x, y, z - координаты переменной точки на сфере;
x0, y0, z0 - координаты центра;
R - радиус сферы.

Объем шара и площадь сферы:

Объем шарового сегмента и площадь сегментной поверхности:
,
где h - высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового сектора:
,
где R - радиус шара; h - высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового слоя:
,
где h - высота; r1 и r2 - радиусы оснований шарового слоя.

Объем и площадь поверхности тора:
,
где r - радиус круга; R - расстояние от центра круга до оси вращения.

Средняя кривизна поверхности S в точке A0:

Части шара . Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью, называется шаровым (сферическим) сегментом. Круг называется основанием шарового сегмента. Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра круга до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем; кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Расстояние между основаниями шарового пояса - его высота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной - центр шара, называется шаровым сектором.

Симметрия.

Зеркальная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова, они называются зеркально равными.

Центральная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно центра C, если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам. Точка C в этом случае называется центром симметрии.

Симметрия вращения. Тело обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360° / n (n - целое число) вокруг некоторой прямой AB (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n=2 имеем осевую симметрию.

Примеры видов симметрии. Шар (сфера) обладает и центральной, и зеркальной и симметрией вращения. Центром симметрии является центр шара; плоскостью симметрии является плоскость любого большого круга; осью симметрии - диаметр шара.

Круглый конус обладает осевой симметрией; ось симметрии - ось конуса.

Прямая призма обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна ее основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.

Симметрия плоских фигур.

Зеркальноосевая симметрия. Если плоская фигура симметрична относительно плоскости (что возможно, если только плоская фигура перпендикулярна этой плоскости), то прямая, по которой эти плоскости пересекаются, является осью симметрии второго порядка данной фигуры. В этом случае фигура называется зеркально-симметричной.

Центральная симметрия. Если плоская фигура имеет ось симметрии второго порядка, перпендикулярную плоскости фигуры, то точка, в которой пересекаются прямая и плоскость фигуры, является центром симметрии.

Примеры симметрии плоских фигур.

Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии - точка пересечения диагоналей.
Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Ее ось симметрии - перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции.

Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии - любая из его диагоналей; центр симметрии - точка их пересечения.

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности .

Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.

Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной.

Пример . В круг радиуса R=50 бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат.

Решение . P(A) = =; (R =; a =)

6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В - совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В - несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В.

Свойства:

А + В = В + А – коммутативность сложения.

А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность сложения.

А(В + С) = (А+В)(А+С) – законы дистрибутивности.

Примеры.

1) Событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие В – попадание в цель при втором выстреле, тогда событие С = А + В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

2) Если событие А – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то С = А + В есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

7. Теорема сложения вероятностей (с доказательством) и ее следствия. Примеры. 8 Произведение событий и его свойства.

9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры

Вероятность Р(В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается РА(В), или Р(В/А), или Р(В/А).

Теорема Умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

В противном случае, если РА(В) не равно Р(В) событие В называется зависимым от А.

Несколько событий А,В,М… называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимо любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события А,В,М называются зависимыми.

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

10. Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть события H1 , H2 ,K, Hn образуют полную группу попарно несовместных событий. Такие события называются гипотезами. Пусть событие A происходит вместе с гипотезами H1 , H2 ,K, Hn. Тогда для вероятности события A справедлива формула

P (A )  P (H 1)  P H (A )  P (H 2)  P H (A ) K P (H n )  P H (A ) .

Доказательство. A  AH 1  AH 2 K AH n . Так как H 1 , H 2 ,K, H n попарно несовместные, тоAH 1 , AH 2 ,K, AH n также попарно несовместные. По правилу сложения вероятностей имеем

P (A )   P (A H i )   P (H i )  P H i (A ) .

Что и требовалось доказать.

Пример. На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году – с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе – в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов?

Решение. Другими словами, нужно вычислить вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом. Обозначим следующие события: A воздействие вредных выбросов, H1 ветер дует с севера,H2 ветер дует с запада. По условию имеем

Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках. Название науки «геометрия» - древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов ge - «Земля» и metreo - «измеряю».

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion - «столик», от которого произошло также слово «трапеза» и другие родственные слова. Термин «линия» возник от латинского linum - «лен, льняная нить».

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В замечательной книге «Диалектика природы» Ф. Энгельс определил геометрию как науку о пространственных формах окружающего нас реального мира, т.е. как часть математики, изучающую свойства пространства. Это философское определение полностью отражало состояние геометрии в то время, когда жил и работал Ф. Энгельс. Но в наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику, которая уже не всегда укладывается в определение геометрии, данное в прошлом веке Ф. Энгельсом. Крупный советский геометр академик А. Д. Александров, которому принадлежат работы не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственноподобные формы и отношения реального мира. Что это значит и какое это имеет значение для школьной геометрии, попытаемся раскрыть в этой статье.

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала» (см, Евклид и его «Начала»). В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Например, таким пособием был учебник А. П. Киселева, по которому советская школа работала до середины этого столетия.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Происхождение этой мысли Канта становится понятным, если мы проследим процесс возникновения геометрических знаний в сознании ребенка. Дети много тысяч раз видят, например, прототипы прямых линий в жизни: угол дома или обрез книжной страницы, натянутую нитку или луч света, край стола или двери – все это, запечатленное в сознании ребенка, делает его психологически подготовленным к восприятию понятия «прямая». То же относится к прямым углам и перпендикулярам (которые мы видим с детства на каждом шагу), окружностям (колесо, пуговица, солнечный диск, край тарелки или блюдца), параллелограммам и другим фигурам. Отраженные в сознании, эти представления подготавливают восприятие геометрических понятий. Учитель же систематизирует, упорядочивает эти представления и дает школьникам соответствующий термин, завершающий и закрепляющий образование понятия.

«Геометрия – правительница всех мысленных изысканий». М. В. Ломоносов

Лишь в XIX в. благодаря в первую очередь трудам выдающегося русскою математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». Особенно большая заслуга в расширении наших представлений о возможных геометрических пространствах принадлежит немецкому математику XIX в. Г. Ф. Б. Риману. Он открыл способ построения бесконечно многих «геометрий», которые локально, «в малом» устроены почти так же, как и евклидова геометрия, но обладают «кривизной», сказывающейся при рассмотрении больших кусков пространства. По преданию, К. Ф. Гаусс, обогативший математику многими замечательными открытиями (в том числе и в области геометрии), ушел после доклада Римана, глубоко задумавшись над ошеломившими его новыми геометрическими идеями.

Интересно проследить связь геометрических идей с современной физикой. Часто идеи, обогащающие математику новыми понятиями и методами, приходят из физики, химии и других разделов естествознания. Типичным примером может служить понятие вектора, пришедшее в математику из механики. Но в отношении неевклидовых геометрий дело обстоит как раз наоборот: созданные внутри математики под воздействием ее внутренних потребностей и ее собственной логики развития, эти новые геометрические понятия проложили пути создания современной физики. В частности, геометрия Лобачевского нашла применение в специальной теории относительности, стала одной из математических основ этой теории, а риманова геометрия служит фундаментом общей эйнштейновской теории относительности. Можно даже сказать, что общая теория относительности – это больше геометрия, чем физика, и здесь обнаруживается влияние идей немецкого математика Д. Гильберта, который сотрудничал с А. Эйнштейном при создании этой теории. Важные приложения имеет риманова геометрия в теории упругости и в других разделах физики и техники.

Нечто похожее произошло и с другим разделом современной геометрии – с так называемым выпуклым анализом. Начала теории выпуклых фигур были заложены в XIX в. немецким математиком Г. Минковским. Несколько красивых теорем, полученных им, привлекли внимание математиков к новой теории. Однако поскольку они не находили применения в других разделах математики, а тем более в естествознании, то в то время создалось впечатление, что Минковский создал очень изящную, но совершенно бесполезную математическую игрушку. Но прошли десятилетия, и совершенно неожиданно теоремы о выпуклых множествах нашли различные применения: сначала в самой математике (при решении геометрических экстремальных задач), а затем в математической экономике, теории управления и других прикладных областях.

В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают се с теорией чисел, другие с квантовой физикой, третьи – с математическим анализом. А некоторые разделы современной математики таковы, что трудно сказать, чего в них больше: геометрии, алгебры или анализа.

Геометрия не только обогатилась новыми направлениями, находящимися далеко за пределами той колыбели, из которой она выросла, евклидовой геометрии. Много нового появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь аналитическая геометрия, явившаяся мощным средством исследования геометрических образов. Например, метод координат позволяет быстро и с помощью несложных вычислений вывести основные свойства линий второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы). Теоремы об этих линиях, найденные древнегреческим ученым Аполлонием и некогда считавшиеся вершиной геометрии, сейчас с помощью методов аналитической геометрии изучаются в вузах и техникумах.

В работах математиков XIX в. У. Гамильтона, Г. Грассмана и других были введены векторы, которые ранее в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки имели лишь механический смысл, а теперь приобрели права гражданства в математике. С 60-х гг. нашего столетия векторы заняли прочное место и в школьном курсе геометрии. Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие (которые раньше было доказать довольно трудно) стали легкими упражнениями на применение скалярного произведения векторов. Но роль векторов не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкие применения в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Так, скалярное произведение вектоpa силы и вектора перемещения есть работа, векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля есть сила воздействия этого поля на проводник и т.д. Как видите, и здесь геометрия диктовала физике введение новых понятий, а не наоборот. А впоследствии, при рассмотрении многомерных пространств (о которых речь еще впереди), скалярное произведение приобрело еще больший вес и значение и стало важным рабочим аппаратом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложений.

Другим важным обогащением, которым геометрия также обязана XIX в., стало создание теории геометрических преобразований, и в частности движений (перемещений). У Евклида движения неявно присутствовали; например, когда он говорил: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом», то речь шла в действительности о применении движения, перемещения треугольника. Но для Евклида движение не было математическим понятием. Создание математической теории движений и осознание их важной роли в геометрии связано с именем немецкого математика XIX-XX вв. Ф. Клейна, который при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии в университете г. Эрлангена прочитал лекцию о роли движений в геометрии. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название Эрлангенской программы. Идею Клейна можно пояснить следующим образом.

Геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются равными, или конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии. Они обладают тем свойством, что композиция любых двух движений и (т. е. результат их последовательного выполнения) также является движением; кроме того, если - произвольное движение, то обратное отображение также является движением. Эти свойства коротко выражают следующим образом: движения образуют группу. Таким образом, группа движений задает, определяет евклидову геометрию. Но группа движений не единственная известная нам группа преобразований. Например, все параллельные переносы образуют группу, все подобные преобразования также образуют группу и т.д. По мысли Клейна, каждая группа преобразований определяет «свою геометрию». Например, можно рассматривать аффинные преобразования, которые каждую прямую взаимно-однозначно отображают на некоторую другую прямую, но при этом могут не сохранять (в отличие от движений) ни расстояний, ни углов, ни площадей. Множество всех аффинных преобразований плоскости (или пространства) представляет собой группу. Эта группа задает некоторую геометрию, которая носит название аффинной геометрии. Групповая точка зрения на геометрию позволяет с единых позиций рассмотреть многие различные геометрии: евклидову, геометрию Лобачевского, аффинную, проективную геометрию и др.

Значение идей Эрлангенской программы Клейна не исчерпывается рамками геометрии. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Так, русский математик и кристаллограф Е. С. Федоров, используя клейновские идеи, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни подлинной научной основой всей кристаллографии. Групповой подход находит важные применения в ядерной физике; принципы симметрии и четности – яркое проявление групповой точки зрения. Основой специальной теории относительности является группа Лоренца; по существу, эта теория представляет собой своеобразную геометрию «четырехмерного пространства – времени», определяемую группой Лоренца. Важные приложения находит групповая точка зрения и в других областях физики, химии.

Влияние группового подхода можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура определяет некоторую группу движений; в эту группу входят все те движения, которые переводят фигуру в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры . Знание группы самосовмещений фигуры во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Возьмем, например, параллелограмм общего вида, т.е. не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом (рис. 1). Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение (оставляющее все точки плоскости на месте) и симметрия относительно точки , в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм в себя, нет. Таким образом, группа самосовмещений параллелограмма состоит из двух элементов . Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию , вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма симметричны относительно точки , то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны, и т.д.

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». Г. Галилей

Группа самосовмещений ромба содержит кроме и еще две осевые симметрии и относительно прямых, на которых расположены диагонали ромба (рис. 2). Из того, что в этой группе имеются дополнительные (по сравнению с параллелограммом общего вида) движения и , вытекает наличие у ромба дополнительных, специфических свойств (помимо свойств, присущих всякому параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т.д. В качестве еще одного примера отметим, что группа самосовмещений равнобедренного треугольника, не являющегося равносторонним (рис. 3), состоит из двух элементов , где - осевая симметрия. Из наличия в группе самосовмещений равнобедренного треугольника движения вытекают основные свойства этого треугольника: равенство углов при основании, совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных к основанию, равенство медиан, проведенных к боковым сторонам, и т.д. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью) удобнее всего доказывать, используя группы их самосовмещений. Свойства сферы, цилиндра, конуса также лучше всего выводить с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений.

Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Итак, XIX в. привнес в евклидову геометрию много нового, и прежде всего векторные методы и групповой подход. Есть и еще одно направление развития геометрии, появившееся в рамках евклидовой геометрии в XIX в., - многомерные пространства. Возникли они путем обобщения, аналогии с геометрией на плоскости и в трехмерном пространстве. На плоскости каждая точка задается в системе координат двумя числами – координатами этой точки, а в пространстве – тремя координатами. В -мерном же пространстве точка задается координатами, т.е. записывается в виде , где - произвольные действительные числа (координаты точки ). На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве - три, а в -мерном пространстве система координат содержит осей, причем каждые две из этих осей перпендикулярны друг другу! Конечно, такие пространства существуют лишь в воображении математиков и тех специалистов из других областей знания, которые применяют эти математические абстракции. Ведь реальное пространство, в котором мы живем, математически хорошо описывается трехмерным пространством (евклидовым или римановым, но именно трехмерным). Увидеть – в буквальном, физическом смысле этого слова – фигуры в четырехмерном пространстве (а тем более в пространствах большего числа измерений) не в состоянии никто, даже самый гениальный математик; их можно видеть только мысленным взором.

Человек, который впервые слышит о четырехмерном пространстве, готов возразить: «Но ведь такого же не бывает, не может быть четырех прямых, которые друг другу перпендикулярны!». Есть и другие парадоксы четвертого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри - кружок, то, как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая ее, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью. Аналогично дело обстоит и в пространстве. Если имеется сфера (оболочка), внутри которой заключен шарик, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из нее этот шарик. Но если бы существовало четвертое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трехмерным пространством в направлении четвертого измерения, а затем положить его снова в трехмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удается, приводят как довод против существования четвертого измерения. Довод ошибочен, так как в нем спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном пространстве четвертое измерение? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырехмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четверки чисел , исследовать свойства этих «четырехмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постепенно строя таким образом геометрию четырехмерного (или, вообще, -мерного) пространства. Но математическая непротиворечивость -мерной геометрии еще недостаточна для суждения о ценности этой теории. В чем же состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трехмерного мира до столь далеких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим два примера, которые подведут нас к -мерной геометрии.

Пример 1. Сумма чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путем, рассматривая сначала случай , затем , а потом обсудим ситуацию при .

Итак, пусть сначала . Иначе говоря, рассматриваются числа , удовлетворяющие условию , и требуется найти, в каком случае сумма квадратов будет наименьшей.

Уравнение определяет на координатной плоскости прямую (рис. 4). Рассмотрим окружность с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка ). Если точка прямой отлична от , то она лежит вне окружности и потому больше радиуса этой окружности, т. е. . Если же , то сумма равна , т.е. именно для точки эта сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при ).

Пусть теперь . Уравнение определяет в пространстве плоскость . Рассмотрим сферу с центром в начале , касающуюся этой плоскости в некоторой точке (рис. 5). Для любой точки , отличной от , ее расстояние от точки больше радиуса сферы , , и потому , а при имеем . Таким образом, именно для точки сумма принимает наименьшее значение. Точка имеет равные координаты: (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: ; , , и плоскость , и сфера переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как , то точка имеет координаты ; это и есть решение поставленной задачи (для ).

Рассмотрим, наконец, произвольное ; рассуждения будем вести в -мерном пространстве, точками которого являются последовательности , состоящие из действительных чисел. Уравнение определяет в этом пространстве «плоскость» , имеющую размерность (например, при , т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность , гиперплоскостями в -мерном пространстве. Рассмотрим сферу с центром в начале координат , касающуюся гиперплоскости в некоторой точке . Все точки гиперплоскости , кроме , лежат вне сферы , т.е. находятся от начала координат на расстоянии, большем, чем радиус сферы , а точка находится от на расстоянии, равном . Следовательно, сумма принимает в точке наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости . Заметим теперь, что все координаты точки равны между собой: (поскольку поворот пространства, переставляющий оси , переводит гиперплоскость в себя и сферу тоже в себя, а потому оставляет точку неподвижной), откуда . Итак, при сумма квадратов принимает наименьшее значение для .

Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями -мерной геометрии, но характер этого решения и польза -мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.

Пример 2. На три завода (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах в соответствии с данными, указанными в таблице.

Наличие сырья		Потребность в сырье
				20т и, многоугольника. Иначе говоря, наиболее выгодный вариант перевозок соответствует точке, обозначающие количество сырья, вывозимого со склада на первые три завода. Если задать расстояния от складов до заводов, то можно будет составить выражение для общего числа тонно-километров. Можно написать и неравенства, выражающие неотрицательность количества сырья, вывозимого со складов на заводы. Теперь эти неравенства будут зависеть от трех переменных . Каждое из этих неравенств задает полупространство, а система всех неравенств определяет пересечение полупространств, т.е. выпуклый многогранник в трехмерном пространстве. Таким образом, для четырех заводов задача о перевозке сырья будет математически формулироваться как задача о наименьшем значении линейной функции на трехмерном выпуклом многограннике. Для двух складов и пяти заводов (при сохранении того условия, что все сырье должно быть вывезено полностью) потребуются уже четыре переменные, обозначающие количество сырья, вывозимого со склада , на первые четыре завода. Теперь мы будем иметь неравенства с четырьмя переменными, и для получения геометрической интерпретации потребуется четырехмерное пространство, а при большем числе складов и заводов – пространства еще большей размерности. К нахождению наибольших значений линейных функций на выпуклых многогранниках приводят и другие практические задачи, на первый взгляд никакого отношения к многогранникам не имеющие. Сюда относятся не только задачи о нахождении наиболее выгодных вариантов перевозок, но также задачи о наиболее выгодных способах раскроя материала, наиболее эффективных режимах работы предприятий, задачи о составлении производственных планов и т.п. Такие задачи объединяются новым научным направлением, получившим название линейное программирование. Тот факт, что эти задачи решаются геометрически с помощью нахождения наименьших или наибольших значений линейных функций на многогранниках (причем, как правило, в пространствах, имеющих размерность, большую трех), был впервые подмечен академиком Л. В. Канторовичем. Необходимость рассмотрения -мерных пространств при диктуется также математическими задачами физики, химии, биологии и других областей знания. Таким образом, хотя пространственные свойства окружающего мира хорошо описываются геометрическим трехмерным пространством, потребности практической деятельности человека приводят к необходимости рассмотрения пространств любой размерности . Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, что такое геометрия. Многомерные пространства, несомненно, относятся к области геометрии, поскольку в них математики рассматривают плоскости, прямые, векторы, углы, расстояния, скалярное произведение, перпендикулярность и т. д., т. е. подлинно геометрические понятия. Многомерные пространства и имеющиеся в них гиперплоскости, многогранники и т. п. нельзя назвать отражением пространственных форм реального мира. При всей практической значимости задач о раскрое материала, транспортных задач и т. д. порождаемые ими понятия многомерной геометрии являются лишь «пространственноподобными»; они похожи на то, что мы видим в реальном пространстве, но представляют собой следующую, более высокую ступень абстракции от пространственных форм реального трехмерного мира. Понятия и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач. И дело не только в том, что, решая задачи по алгебре, математическому анализу или другим областям математики, мы часто делаем геометрические чертежи или используем формулы и теоремы геометрии. Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы с геометрическими фактами, мы часто можем «увидеть» геометрически решение задачи и найти такие пути рассуждений, предугадать которые, глядя «чисто алгебраически» на нагромождение формул, просто не представляется возможным. Два приведенных выше примера иллюстрируют это. Вообще, характерной чертой современного развития математики является то, что геометрия все больше приобретает роль метода мышления, метода осмысления и организации математической информации буквально во всех областях математики и ее приложений.

Тела отличаются друг от друга весом, цветом, плотностью, твердостью, занимаемым ими местом и т. д.

Эти признаки называются свойствами тел.

Тела, обладающие этими свойствами, называются физическими телами .

Между этими свойствами особенного внимания заслуживает свойство тела, называемое протяженностью .

Протяженность есть свойство тела занимать в пространстве определенное место .

Его называют геометрическим свойством тела. Этим свойством определяется форма и величина тела.

Тело, обладающее только одним свойством протяженности, называется геометрическим телом. Рассматривая геометрическое тело, обращают внимание только на его форму и величину.

Остальные свойства тела называются физическими.

Геометрическое тело есть место, занимаемое физическим телом .

Геометрическое тело ограничено со всех сторон. Оно отделяется от остального пространства поверхностью тела. Чтобы выразить это, говорят, что

Поверхность есть предел тела .

Одна поверхность отделяется от другой линией. Линия ограничивает поверхность, поэтому линию называют границей поверхности.

Линия есть предел поверхности .

Конец линии называется точкой. Точка ограничивает и отделяет одну линию от другой, поэтому точку называют границей линии.

Точка есть предел линии .

На чертеже 1 изображено тело, имеющее форму закрытого со всех сторон ящика. Оно ограничено шестью сторонами, образующими поверхность ящика. На каждую из сторон ящика можно смотреть как на отдельную поверхность. Эти стороны отделяются друг от друга 12 линиями, образующими ребра ящика. Линии же отделяются друг от друга 8 точками, составляющими углы ящика.

Тела, поверхности и линии бывают неодинаковой величины. Это значит, что они занимают неодинаковое пространство, или неодинаковое протяжение.

Объем тела . Величина геометрического тела называется объемом или вместимостью тела.

Площадь поверхности. Величина поверхности называется площадью.

Длина линии. Величина линии называется длиною.

Длина, площадь и объем являются разнородными величинами. Они измеряются различными единицами и употребляются для различных целей. Чтобы найти расстояние двух предметов, ширину руки, глубину колодца, высоту башни, определяют длину линии. Для этого делают только одно измерение, то есть производят измерение в одном направлении. При измерении прибегают к единицам длины. Эти единицы длины называются верстами, саженями, аршинами, футами, метрами и т. д. Единица длины имеет одно измерение, поэтому и говорят, что

Линии имеют одно измерение. Линии не имеют ни ширины, ни толщины. Они имеют одну длину.

Чтобы иметь понятие о размерах картины, нужно знать ее длину и ширину. Длина и ширина дают понятие о площади картины. Для определения площади нужно стало быть сделать два измерения, или измерить картину в двух направлениях. Для определения величины площади прибегают к единицам площадей. За единицу площадей принимают квадрат, стороны которого имеют определенную единицу длины. Единицы площадей называются квадратными милями, квадратными верстами, квадратными футами и т. д. Квадратная верста есть площадь квадрата, у которого каждая сторона равна версте, и т. д. Единица площадей имеет два измерения: длину и ширину. Так как поверхности измеряются единицами площадей, то в этом смысле и говорят, что

Поверхности имеют два измерения. Поверхности не имеют толщины. Они могут иметь только длину и ширину.

Чтобы иметь понятие о вместимости комнаты или ящика, нужно знать их объемы. Для этого нужно знать длину, ширину и высоту комнаты, то есть сделать три измерения или измерить ее в трех направлениях. Объемы измеряются единицами объема. За единицу объема принимают куб, каждая сторона которого равна единице. Единицы объема имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Так как объемы измеряются единицами объемов, то и говорят, что

Тела имеют три измерения.

Единицы объемов называются кубическими верстами, кубическими футами и т. д. Смотря по длине стороны куба.

Точка не имеет ни длины, ни ширины, ни вышины, или точка не имеет измерения.

Геометрические протяжения. Линии, поверхности и тела называются геометрических протяжениями.

Геометрия есть наука о свойствах и измерении геометрических протяжений .

Геометрия есть наука о пространстве. В ней излагается совокупность необходимых отношений, связанных с природой пространства.

Образование геометрических протяжений движением

На линию можно смотреть так же, как на след, оставляемый движением точки, на поверхность как на след, оставляемый движением лини и на тело как на след, оставляемый движением поверхности. На этих соображениях основаны другие определения линии, поверхности и тела.

Линия есть геометрическое место движущейся точки .

Поверхность есть геометрическое место движущейся линии .

Тело есть геометрическое место движущейся поверхности .

Все предметы, рассматриваемые в природе, имеют три измерения. В ней нет ни точек, ни линий, ни поверхностей, а существуют только тела. Однако в геометрии рассматривают точки, линии и поверхности отдельно от тел. При этом некоторое приближенное наглядное представление о поверхности дает нам очень тонкая оболочка тела, наглядное представление о линии дает очень тонкая нить или волосок и о точке конец нити.

Линии

Линии разделяются на прямые, ломаные и кривые.

есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Сильно натянутая тонкая нить дает некоторое наглядное представление о прямой линии.

Всякую линию обозначают буквами, поставленными при ее точках. Чертеж 2 изображает прямую линию AB. Во всякой прямой линии обращают внимание на ее направление и величину .

Направление прямой линии определяется ее положением.

есть последовательное и непрерывное соединение нескольких прямых, имеющих неодинаковое направление.

Ломаная линия ABCD (черт. 3) составлена из прямых AB, BC, CD, имеющих неодинаковое направление.

есть такая, которая не может быть составлена из прямых .

Линия, изображенная на черт. 4, будет кривой линией.

Линия, составленная из прямых и кривых, называется иногда составной линией.

Чертеж (4, а) представляет такую составную линию.

Поверхности

Поверхности разделяются на прямые или плоские и кривые . Плоская поверхность называется плоскостью.

Плоскость . Поверхность называется плоскостью в том случае, когда всякая прямая линия, проведенная через каждые две точки поверхности, лежит на ней всеми своими точками.

Кривая поверхность есть такая, которая не может быть составлен из плоскостей .

Прямая линия, проведенная между всякими двумя точками кривой поверхности, не помещается на ней всеми своими промежуточными точками.

Некоторое наглядное представление о плоскости дает поверхность хорошо полированного зеркала или поверхность стоячей воды. Примером кривых поверхностей может послужить поверхность бильярдного шара.

Разделы геометрии

Геометрия делится на планиметрию и стереометрию .

Планиметрия изучает свойство геометрических протяжений, рассматриваемых на плоскости.

Стереометрия изучает свойства таких геометрических протяжений, которые не могут быть представлены в одной плоскости.

Планиметрия называется геометрией на плоскости, стереометрия - геометрией в пространстве.

Геометрия разделяется еще на начальную и высшую. В настоящем сочинении предлагается изложение только начальной геометрии.

Различные формы выражения геометрических истин

Геометрические истины выражаются в форме аксиом, теорем, лемм и проблем или задач.

Аксиома есть истина, но своей очевидности не требующая доказательства .

Примерами истин, не требующих доказательства, могут послужить следующие аксиомы:

Целое равно сумме своих частей.

Целое больше своей части. Части меньше целого.

Две величины, равные одной и той же третьей, равны между собой.

Прибавив или вычтя из равных величин поровну, получим величины равные.

Прибавив или вычтя из равных величин не поровну, получим величины неравные.

Прибавив или вычтя из неравных величин поровну, получим величины неравные.

Сумма больших больше суммы меньших величин.

Однородная величина, которая не больше и не меньше другой, равна ей и т. д.

Теорема . Теоремой или предположением называется истина, требующая доказательства .

Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих теорему очевидной .

Теорема доказывается при помощи аксиом.

Состав теоремы . Всякая теорема состоит из условия и заключения .

Условие называется иногда предположением, допущением , а заключение называют иногда следствием . Условие дано и потому получает иногда название данного .

Теорема называется обратной, если заключение делается условием, а условие или предположение заключением. В таком случае данная теорема называется прямою. Не всякая теорема имеет свою обратную.

Проблема или задача есть вопрос, разрешаемый при помощи теорем .

Лемма есть вспомогательная истина, облегчающая доказательство теоремы .