Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

1) число попаданий при трех выстрелах;

2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;

3) частота попадания при 10 выстрелах.

Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.

Так, в примере 1) эти значения:

в примере 2):

в примере 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого типа, например:

1) абсцисса точки попадания при выстреле;

2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах;

3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;

4) вес наугад взятого зерна пшеницы.

Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.

Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.

Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.

Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит. Случайная величина, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.

С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).

Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного значения (рис. 2.4.1). Обозначим случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству

Вероятность события есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин .

Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.

Определение . Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до экс­перимента невозможно предсказать, какое именно.

Случайными величинами являются, например, количество оч­ков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посе­тителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д.

Случайными величинами являются также температура боль­ного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбран­ного студента и т. д.

О

днако с математической точки зрения между такими слу­чайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X 1) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (ве­личина Х 2), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X 1 можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тогда как для величины Х 2 этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка, где

и - соответ­ственно минимальный и максимальный рост студентов группы.

Случайные величины принято обозначать прописными буква­ми латинского алфавита - X, Y, Z и т. д., а их возможные значения - соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины xобозна­чают следующим образом:x 1 ,x 2 ,x 3 и т. д.

Понятие дискретных и непрерывных случайных величин

Определение . Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере, теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности.

Определение . Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой не­который конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Исходя из этих определений, такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков, выпадающих при бро­сании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на. дереве, являются дискретными случай­ными величинами, а такие, как температура больного в фикси­рованное время суток, масса наугад выбранной таблетки некото­рого препарата, рост наугад выбранного студента, - непрерыв­ными величинами.

Дискретные случайные величины

Рассмотрим подробнее дискретные случайные величины , причем, как правило, будем ограничивать рассмотрение такими случай­ными величинами, у которых количество возможных значений конечно.

Наиболее полную информацию о дискретной случайной вели­чине дает закон распределения этой величины.

Определение . Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины часто задают в виде двухстрочной таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения этой величины (как правило, в порядке возрастания), а во второй - соответствующие этим значениям вероятности таблице 1:

Пример 2. Имеется десять студенческих групп, насчитыва­ющих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины X, опреде­ляемой как число студентов в наугад выбранной группе.

Решение. Возможными значениями рассматриваемой случай­ной величины Х являются следующие (в порядке возрастания):

8, 9, 10, 11 и 12.

Поскольку случайная величина Х принимает значение, равное 8, в том случае, если наугад выбранной группой окажется груп­па из 8 студентов (назовем это событием А), вероятность того, что случайная величина Х примет значение
, равна вероят­ности этого случайного события:
.

Вероятность же случайного события А в соответствии с классическим определением вероятности равна
по­скольку из 10 групп две насчитывают по 8 студентов.

Таким образом, для вероятности значения получаем:

.

Аналогично можно найти вероятности остальных значений слу­чайной величины X:

что позволяет составить искомый закон распределения (таблица 2):

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан также с помощью формулы, позволяющей для каж­дого возможного значения этой величины определить соответ­ствующую вероятность.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Как правило, при изготовлении продукции на процесс её производства оказывает влияние множество различных факторов, в результате чего наблюдается разброс значений показателей качества продукцию. Таким образом, показатели качества изготовляемой продукции или оказываемых услуг следует рассматривать как случайные величины.

Случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытаний в границах определенного интервала может принимать различные числовые значения (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 случайная величина - переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей ).

Дискретными случайными величинами называются такие, которые в результате испытаний могут принимать лишь отдельные, изолированные значения и не могут принимать значения промежуточные между ними. Например, количество негодных деталей в партии может быть только целым положительным числом 1, 2, 3 и т.д., но не может быть 1,3; 1,7 и т.п.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытаний может принимать любые численные значения из непрерывного ряда их возможных значений в границах определенного интервала.

Например, действительные размеры деталей, обработанных на станке, являются случайными величинами непрерывного типа, так как они могут принять любое численное значение в определенных границах.

Возможности случайных величин принимать при испытаниях те или иные численные значения оцениваются при помощи вероятностей.

Совокупность значений случайных величин, расположенных в возрастающем порядке с указанием их вероятностей для каждого из значений, называется распределением случайных величин (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 распределение – это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений).

Распределение случайной величины можно представить в табличном, графическом виде и при помощи статистических оценок.

При представлении распределения случайной величины в табличном виде каждому номеру исследуемой единицы продукции (номеру измерения) соответствует значение показателя качества для данной единицы продукции (результат измерения).

При представлении распределения случайной величины в графическом виде строят график распределения в координатах значение случайной величины – вероятность (частота, частость) значения случайной величины.

На рисунке ниже показаны графики распределения дискретной и непрерывной случайных величин.

Рисунок - График распределения дискретной случайной величины

Рисунок - График распределения непрерывной случайной величины

Различают теоретические и эмпирические распределения случайных величин. В теоретических распределениях оценка возможных значений случайной величины производится при помощи вероятностей, а в эмпирических - при помощи частот или частостей, полученных в результате испытаний.

Следовательно, эмпирическим распределением случайной величины называется совокупность экспериментальных ее значений, расположенных в порядке возрастания, с указанием частот или частостей для каждого из значений(согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 распределение частот – это эмпирическое отношение между значениями признака и его частотами или его относительными частотами).

Таблица. Пример табличного представления теоретического распределения дискретной случайной величины

Графически эмпирическое распределение дискретной случайной величины можно представить в виде столбиковой диаграммы , образуемой набором столбцов равной ширины, высоты которых пропорциональны частотам дискретных значений случайной величины.

Рисунок - Столбиковая диаграмма дискретной случайной величины.

Если случайная величина является непрерывной, то возникают некоторые сложности с представлением ее распределения в виде таблицы или графика. Поэтому на практике при изучении случайных величин непрерывного типа полученные значения разбивают на равные интервалы с таким расчетом, чтобы значение интервала было несколько больше погрешности измерения исследуемой величины. Затем подсчитывают частоты не по действительным значениям случайной величины, а по интервалам. Поэтому таблица эмпирического распределения случайной величины непрерывного типа будет иметь следующий вид.

Таблица. Эмпирическое распределение случайной величины непрерывного типа.

Интервал значений Х	Среднее арифметическое значение	Частота f i	Частость m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f i = 100	m i = 1

Эмпирическое распределение случайной непрерывной величины графически может быть представлено в виде гистограммы распределения, полигона частот или полигона кумулятивных частот.

Гистограмма распределения представляет собой совокупность соприкасающихся прямоугольников, основания которых равны интервалам разбиения непрерывной случайной величины, а площади пропорциональны частотам, с которыми значения случайной величины попадают в эти интервалы (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 гистограмма (распределения) – это графическое представление распределения частот для количественного признака, образуемое соприкасающимися прямоугольниками, основаниями которых служат интервалы классов, а площади пропорциональны частотам этих классов).

Рисунок - Гистограмма распределения случайной непрерывной величины.

Полигон частот – это ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны серединам интервалов разбиения, а ординаты – соответствующим частотам.

Рисунок - Полигон частот случайной непрерывной величины.

Полигон кумулятивных частот – это ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны верхним границам интервалов разбиения, а ординаты – либо кумулятивным частотам, либо кумулятивным частостям (кумулятивным относительным частотам).

Рисунок - Полигон кумулятивных частот случайной непрерывной величины.

При теоретических описаниях случайных величин непрерывного типа используется функция распределения. Теоретическое распределение случайной непрерывной величины графически может быть представлено в виде интегральной, обратной интегральной, дифференциальной функций распределения и функции интенсивности .

Пусть Х - случайная величина, а х - какое-либо действительное число (при этом Х < х ). Событию Х < х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

Р(Х < х) = F(х)

F(Х) называется функцией распределения вероятностей случайной величины или интегральной функцией распределения.

Для дискретной случайной величины интегральная функция распределения F(Х) легко определяется по таблице или графику.

Таким образом, для приведенного выше примера распределения дискретной случайной величины (при Х < 4):

F(X) = Р( Х ) = P(Х=1 ) + P(Х=2 ) + P(Х=3 ) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

График интегральной функции распределения дискретной случайной величины будет иметь вид ступенчатой кривой. Ординаты кривой для любого значения Х будут представлять сумму вероятностей предшествующих значений.

Рисунок - Интегральная функция распределения дискретной случайной величины

Вероятность того, что случайная величина при испытаниях окажется в границах двух заданных значений х 1 и х 2 (х 2 > х 1) равна приращению интегральной функции на этом участке, т.е.

Р(х 1 ≤ Х ≤ х 2 ) = Р(Х < х 2 ) - Р(Х < х 1 ) = F(Х 2 ) - F(Х 1 )

Если обратиться к выше приведенному примеру распределения дискретной случайной величины, то при х1= 2 и х2 = 3:

Р(2≤Х≤3) = Р(Х < 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Для непрерывной случайной величины график интегральной функции распределения будет иметь вид монотонно возрастающей кривой. На практике с помощью интегральной функции распределения определяют теоретические частоты распределения.

Рисунок - Интегральная функция распределения

непрерывной случайной величины

Обратная интегральная функция распределения равна разности между единицей и интегральной функции распределения.

Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) случайной величины называют первую производную от интегральной функции распределения:

Для аналитического описания непрерывной случайной величины в теории надежности используют функцию интенсивности , равную отношению дифференциальной функции распределения к обратной интегральной функции распределения:

Рисунок - Функция интенсивности непрерывной случайной величины.

Тема 3.

Случайные величины и функции распределения

Понятие случайной величины.

Понятие случайной величины

Функция распределения случайной величины, ее свойства

Случайные величины с дискретным распределением

Понятие случайной величины с дискретным распределением

Закон распределения дискретной случайной величины.

Примеры дискретных распределений

Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением

Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным распределением

Закон распределения абсолютно непрерывной случайной величины. Плотность, ее свойства

Примеры абсолютно непрерывных распределений

Понятие случайного вектора.

Понятие случайного вектора

Независимые случайные величины

Совместное распределение случайных величин

Понятие случайной величины.

С момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами . Например, мы можем интересоваться не парами чисел на верхних гранях кубиков, а их суммой; числом успехов или числом неудач до первого успеха в схеме Бернулли.

Часто в литературе можно встретить вариации на тему следующего определения: Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исходов испытания принимает значения, зависящие от случая.

Таким образом, случайная величина – это числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно (элементарный) исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Мы приведем более строгое определение, поскольку понятие случайной величины является одним из тех ключевых понятий, которые связывают теорию вероятностей с математическим анализом и составляют понятийную основу математической статистики.

Определение . Случайной величиной называется функция Х = Х(ω), определенная на пространстве элементарных событий Ω, для которых событие {Х < х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Условие {Х < х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из А . Кроме того, через события {Х < х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Замечание. Таким образом, случайная величина – это функция, областью определения которой является пространство элементарных событий Ω, а множеством значений – числовое множество, возможно, все множество действительных чисел R .

σ-алгебра событий A – это область определения вероятности, если рассматривать ее как функцию.

Замечание . «Термин «случайная величина» несколько неточен, более подходящим был бы термин «Функция случая» , независимой переменной является точка в пространстве элементарных событий, т.е. исход эксперимента или случай». (В.Феллер «Введение в теорию вероятностей», гл. IX )

Случайные величины обозначаются буквами греческого алфавита:(кси),(эта), или заглавными буквами латинского алфавита X, Y, …Значения случайной величины будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательностиx 1 ,x 2 ,,x n ,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Замечание . Ранее мы ввели понятие вероятности применительно к некоторым событиям. Теперь мы переходим к разговору о функциях. Самое очевидное событие, которое можно связать с понятием функции – это принятие ею некоторого значения (конкретного или принадлежащего промежутку)

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением (вероятностей) случайной величины. (при этом слово «вероятностей» обычно опускают)

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения .

Определение. Вся совокупность вероятностей Р{Х < х}, х є (-∞, ∞) задает закон распределения случайной величины Х в общем случае. Часто для краткости закон распределения случайной величины называют просто распределением случайной величины.

Определение. Функция F(x) = Р{Х < х}, х є (-∞, ∞) называется функцией распределения случайной величины Х.

Значение функции распределения в точке х равно вероятности события {Х < х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Геометрически это означает следующее: F(x) – вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается точкой на числовой прямой, расположенной слева от точки х.

Замечание . Функцию распределения называют также интегральной функцией, или интегральным законом распределения случайной величины Х

Функция распределения обладает следующими свойствами :

0≤ F(x)≤1 (т.к. по определению, функция распределения является вероятностью)

F(x 1) ≤ F(x 2) при x 1 < x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 при x → - ∞ , lim F(x) = 1 при x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) – непрерывная слева функция, т.е. F(x) = F(x - 0), где F(x - 0) = lim F(y) при y → x - 0 (левосторонний предел)

Замечание . Для того, чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения F(x), этой функции иногда приписывают нижний индекс, обозначающий конкретную случайную величину. Например, F X (x) = Р{Х < х}

Замечание. В некоторых изданиях функция распределения определяется как F(x) = Р{Х ≤ х}. Такое определение ничего не меняет по существу понятия функции распределения, меняется лишь последнее, пятое свойство. Функция в таком случае оказывается непрерывной справа.

Отступление: «Что такое функция?»

Пусть нам даны два множества Х и Y, причем Y – числовое множество. И пусть задано правило f, по которому каждому элементу (точке) множества Х ставится в соответствие (один и только один) элемент (число) множества Y. Правило f вместе с множествами X и Y задают функцию f. Запись y=f(x) означает, что к некоторой точке x множества X применили правило f, и в результате получили точку y из множества Y. X называется аргументом (независимой переменной), а y – значением (зависимой переменной) функции f в точке х. Множество Х называется областью определения (областью задания) функции, говорят, что функция задана на этом множестве, множество Y называется множеством значений функции. Множество Х совершенно необязательно является числовым множеством. Так, случайная величина – это функция, заданная на нечисловом пространстве элементарных событий.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, причем какое именно заранее неизвестно.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Этот закон задается в виде таблицы, формулы или графика.

Для дискретных случайных величин одним из наиболее употребительных является так называемый биномиальный закон распределения, к которому приводит схема Бернулли повторения испытаний. Формула (8) и является аналитическим выражением этого закона.

Пример 11 .

По каналу связи передается сообщение с помощью кода, состоящего из двух знаков. Вероятность появления первого равна 2/3. Передано три знака. Найти закон распределения для появлений первого знака.

Решение.

По условию n =4, р =2/3, q =1/3. Возможные значения числа появлений первого знака: 0, 1, 2 и 3. Найдем их вероятности по формуле (8):

Этот закон можно представить в виде таблицы

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньше х, то есть

Геометрически это означает, что случайная величина с вероятностью р примет значение, которое на числовой оси изображается точкой, лежащей левее х.

Для непрерывной случайной величины функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция. Из определения выводятся основные свойства:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.

2. F (x ) - неубывающая функция, то есть , если

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на промежутке [а,b [, равна приращению функции распределения на этом промежутке

Для непрерывной случайной величины вероятность принять отдельное значение равно нулю. Поэтому для непрерывных случайных величин

Пример 12 .

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее отрезку [-1;0,5].

Решение.

Из условия следует, что Х - непрерывная случайная величина, которая может принимать значение от 0 до 1.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют первую производную от функции распределения

Функция распределения F(x) есть одна из первообразных для плотности распределения. Исходя из определения плотности или дифференциального закона распределения и ее связи с функцией распределения, легко показать следующие свойства:

1. Плотность распределения непрерывной случайной величины - неотрицательная функция

2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал равна

(16)

3. Из свойства 2 получим выражение для функции распределения

(17)

4. Условие нормировки

(18)

Пример 13. Дискретная величина Х задана таблицей

Х
Р	0,1	0,3	0,4	0,2

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

1. Если , то , так как Х не может принимать значение меньше 2.

В этом случае в интервал (-¥, х) попадает только одно значение случайной величины Х (X =2). Поэтому

Для любого значения аргумента х функции F(x), удовлетворяющего данному неравенству, в интервал (-¥, х ) попадает два значения случайной величины (X =2 и X =3). Поскольку события, что Х примет данные значения являются несовместными (или X =2 или X =3), то

4. Аналогично если

Следовательно, функция распределения будет иметь вид

Строим график функции распределения

Рис. 1 - График функции распределения

дискретной случайной величины

Пример 14 . Плотность распределения ошибки измерения

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет

(национальный исследовательский университет)»

Факультет «Приборостроительный (КТУР)»

Кафедра «Информационно-измерительная техника»

Реферат на тему

«Что такое случайная величина?»

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Проверил:

______________/ А.П. Лапин

Выполнил:

студент группы ПС-236

_______________/Загоскин Я.С./

Челябинск 2015

ВВЕДЕНИЕ

1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей - относительно молодая, но уже ставшая классической, ветвь математики. Развитие ее как отдельной науки пришлось на середину XVII века, и началось с переписки двух известных во всем мире французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера де Ферма. Однако задачами, относящимися к просчету вероятностей в азартных играх, ученые начали интересоваться значительно раньше. Так, например, итальянский математик Лука Пачоли еще в 1494 в своем труде «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» («Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalitа»), рассмотрел одну из задач о вероятностях, но, к сожалению, привел ошибочное решение.

Сегодня методы теории вероятностей и математической статистики являются неотъемлемой частью практически любой дисциплины, как технической, так и гуманитарной направленности. Законы распределения случайных величин оказались применимыми не только к математике, физике, химии, и так далее, но и к дисциплинам, носящим отчасти прогностический характер, таким как социология, экономика, политология, etc.

В данной работе, познакомимся с основными понятиями, терминами и законами теории вероятностей и математической статистики, а так же с применением последних на практике.

1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

1.1 Определение случайной величины

Случайная величина - это фундаментальное понятие теории вероятностей и математической статистики.

Каждый автор по-своему формулирует понятие случайной величины. Е.С. Вентцель, например, определяет случайную величину, как величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно .

Иначе говоря, случайная величина это величина, имеющая целый набор допустимых значений, но принимающая лишь одно, и какое именно, заранее точно сказать нельзя.

Формальное математическое определение случайной величины звучит следующим образом:

Пусть (Щ, F, P) - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называют функцию X: Щ > R .

Случайную величину на практике обычно обозначают заглавными буквами, например: X, Y, Z, тогда, как возможные значения самой величины определяются строчными знаками: x, y, z.

1.2 Виды и примеры случайных величин

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

К дискретным относятся те случайные величины, множество значений которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины, можно считать количество попаданий в цель при заранее определенном числе выстрелов.

Непрерывная случайная величина это такая величина, множество значений которой несчётно или бесконечно. В качестве примера для непрерывной случайной величины, можно взять количество кругов на воде, после попадания в нее камня, или расстояние, которое пролетит стрела, прежде чем упасть на землю.

Все случайные величины, ко всему прочему, имеют еще одну важную характеристику - ряд допустимых значений, который, в свою очередь, может как ограниченным, так и неограниченным. Отсюда, имеем, в зависимости от числа допустимых значений, ограниченные случайные величины, ряд допустимых значений конечен или фиксирован, и неограниченные, количество допустимых значений которых бесконечно.

Дискретные случайные величины могут иметь ограниченный и неограниченный ряд возможных значений, когда как непрерывные - только неограниченный.

На практике в теории вероятностей и математической статистике, как правило, имеют дело только с непрерывными случайными величинами.

2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.1 Закон распределения дискретной случайной величины

Любое соотношение между допустимыми значениями случайной величины и вероятностями их наступления называют законом распределения дискретной случайной величины.

Существует два способа задания закона распределения:

· Аналитически, когда закон распределения задается в виде таблицы соответствия значений случайной величины и их вероятностью, именуемой рядом распределения:

Таблица 1 - ряд распределения случайной величины

Здесь, в первой строке располагаются возможные значения случайной величины, а во второй - их вероятности, при этом сумма всех вероятностей равна единице:

· Графически, когда таблица распределения случайно величины принимает многоугольника распределения:

Рисунок 1 - многоугольник распределения случайной величины

Где сумма всех ординат многоугольника является вероятностью всех допустимых значений случайной величины, следовательно, также равна единице.

Существует также биномиальный закон распределения дискретной случайной величины или, второе название - закон распределения Бернулли.

Определение: дискретная случайная величина о распределена по биномиальному закону, если вероятность того, что событие A наступит ровно m раз в серии из n испытаний по схеме Бернулли, равна:

Или в виде таблицы:

Таблица 2 - ряд биномиального распределения

Примером является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она имеет неограниченное счетное множество допустимых значений 0, 1, 2, …, m, … Тогда соответствующие вероятности определяются формулой (3):

M = 0, 1, 2,…; (3)

Примером явления, распределенного по закону Пуассона, является последовательность радиоактивного распада частиц.

2.2 Законы распределения непрерывной случайной величины

случайный величина теория вероятность

Рассмотренные выше правила распределения случайной величины являются справедливыми лишь по отношению к дискретным величинам, в силу того, что все перечисленные законы строятся исключительно из соображения, что количество возможных значений случайной величины конечно и строго фиксировано. Именно поэтому, например, распределить непрерывную случайную величину по закону Пуассона или Бернулли не получится, так как невозможно перечислить количество допустимых значений данной величины - оно бесконечно.

Для описания распределения непрерывных случайных величин существуют следующие законы:

Рассмотрим значения случайной величины Х такие, что Х<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x):

Равенство (4) читается:

Вероятность того, что случайное значение X находится левее значения х, определяется функцией распределения F(x).

Рисунок 2 - Графическое представление функции распределения с.в.

Стоит отметить, что в виде функции распределения, можно описывать как непрерывную, так и дискретную случайные величины - это универсальная характеристика.

Для непрерывных случайных величин на практике, наравне с функцией распределения F(x), также принято использовать другой закон распределения - плотность распределения вероятностей случайной величины:

Равенство (5) - дифференциальный закон распределения случайной величины, который выражает крутизну функции распределения F(x).

Рисунок 3 - Графическое представление дифференциального закона распределения с.в.

Заметим, что дифференциальный закон распределения случайной величины не является универсальным - он применим исключительно к непрерывным случайным величинам.

Одним из часто используемых на практике законов, является нормальный закон распределения - закон распределения Гаусса. Закон характеризует плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X и имеет вид:

Где a и у параметры распределения имеют значения:

Кривая распределения (рисунок 4а), или кривая Гаусса, получается симметричной относительной точки x = a - точки максимума. При уменьшении значения у ордината точки максимума безгранично возрастает, кривая же при этом пропорционально расходится вдоль оси абсцисс, сохраняя площадь графика постоянной величиной, равной единице (рисунок 4б).

Рисунок 4 - Кривые распределения:

4а - кривая Гаусса,

4б - поведение кривой Гаусса при изменении параметра у;

На практике, нормальное распределение играет значимую роль во многих областях знаний, но особенное внимание ей уделяют в физике. Физическая величина подчиняется закону Гаусса, когда она подвергается влиянию большого числа случайных помех, что является крайне распространенной ситуацией, вследствие чего нормальное распределение чаще всего встречается в природе, и именно отсюда пошло ее название.

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на промежутке (a, b), если все ее возможные значения принадлежат этому промежутку и плотность распределения вероятностей постоянна - закон равномерного распределения непрерывной случайной величины, имеющий вид:

Для случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b) (рисунок 5), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

Рисунок 5 - График плотности равномерного распределения

В качестве примера равномерно распределенных величин, можно взять ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда, то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа - случайная величина, равномерно распределенная в интервале, где.

Непрерывная случайная величина X называется показательно распределенной, если плотность распределения ее вероятностей имеет вид:

В качестве примера, возьмем время Т безотказной работы компьютерной системы, где Т - случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром л, физический смысл которого - среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Рисунок 6 - График плотности показательного распределения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методы, средства и законы теории вероятностей и математической статистики на протяжении всех этапов формирования дисциплины, являлись актуальным, какими и остаются вплоть до наших дней. Главный принцип методов, позволивший затронуть столь огромное количество отраслей и сфер знания - универсальность. Их с легкостью можно применять в любой дисциплине, и при этом они не теряют своей силы, остаются справедливыми.

Но никогда еще теория вероятностей не была столь востребована, как сегодня. Связано это в первую очередь с невероятными темпами развития и роста вычислительной техники. С каждым годом она становится все сложнее, повышается быстродействие, количество производимых в секунду операций, и все это происходит не без участия математической статистики, которая, в свою помогает оптимизировать работу вычислительных систем и комплексов, повышает точность расчетов, осуществляет прогностическую функцию.

Данная работа частично помогает разобраться в азах дисциплины. Знакомит с фундаментальными понятиями, такими как дискретные и непрерывные случайные величины, поясняет разницу между последними. Знакомит с законами их распределения, с дальнейшим применением всех полученных знаний на практике.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель - М.:Наука, 1969г.

2. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений./ Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский - М.: «Наука», 1969г.

3. Пустыльник, Е.И. Статистические методы анализа и обработка наблюдений: учебное пособие/ Е.И. Пустыльник. - М.:«Наука», 1968г.

4. Джонсон, Н. Статистика и планирование в науке и технике./ Н. Джонсон, Ф. Лион - М.: «Мир», 1969г.

5.http://www.wikipedia.org/

Аннотация

Загоскин Я.С. «Что такое случайная величина?»

Челябинск: Юургу

Библиогр. Список - 5 наим.

Цель реферата: Познакомиться с базовыми терминами теории вероятностей и математической статистики.

Задачи реферата: Разобраться с понятием случайной величины.

Рассмотрено понятие случайной величины, определена классификация случайных величин, рассмотрены законы их распределения, примеры применения законов и методов на практике, а также проанализирована перспективность дисциплины.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.

контрольная работа , добавлен 24.01.2013


Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.

контрольная работа , добавлен 03.01.2012


Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.

реферат , добавлен 19.08.2015


Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.

реферат , добавлен 03.12.2007


Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.

курсовая работа , добавлен 13.10.2009


Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.

лекция , добавлен 17.12.2010


Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

контрольная работа , добавлен 22.11.2013


Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.

контрольная работа , добавлен 26.04.2013


Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

контрольная работа , добавлен 25.03.2015


Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

В физике и других науках о природе встречается много различных величин разной природы, как например: время, длина, объём, вес и т.д. Постоянной величиной называют ве- личину, принимающую лишь одно фиксированное значение. Величины, которые могут принимать различные значения, на-зываются переменными. Величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Если однозначно известно, какое именно значение из множества примет величина при создании опреде- лённых условий, то о ней говорят как об «обычной», детерминированной величине. Примером такой величины является количество букв в слове. Большинство физических величин измеряются при помощи приборов с присущей им точностью измерений и, в смысле приведенного определения, они не являются «обычными». Такого рода «необычные» величины называются случайными . Для случайных величин множество целесообразно назвать множеством возможных значений. Случайная величина принимает то или иное значе- ние с некоторой вероятностью. Заметим, что все величины можно считать случайными, так как детерминированная вели-чина – это случайная величина, принимающая каждое значение с вероятностью, равной единице. Всё сказанное выше является достаточным основанием для изучения случайных величин.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное (но обязательно только одно) значение, причём заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.

Понятие случайной величины является фундаментальным понятием теории вероятностей и играет важную роль в её приложениях.

Случайные величины обозначаются: , а их зна -чения, соответственно: .

Выделяют два основных класса случайных величин: диск -ретные и непрерывные.

Определение. Дискретной случайной величиной называют случайную величину, число возможных значений которой конечное либо счётное множество.

Примеры дискретных случайных величин:

1. - частота попаданий при трёх выстрелах. Возможные значения:

2. - число деффектных изделий из штук. Возможные значения:

3. - число выстрелов до первого попадания. Возможные значения:

Определение. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой не –прерывно заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный).

Примеры непрерывных случайных величин:

1. - случайное отклонение по дальности от точки попада- ния до цели при выстреле из орудия.

Так как снаряд может попасть в любую точку, интервала, ограниченного минимальным и максимальным значениями дальности полёта снаряда, возможных для данного орудия, то возможные значения случайной величины заполняют про -межуток между минимальным и максимальным значением.

2. - ошибки при измерении радиолокатором.

3. - время работы прибора.

Случайная величина является своего рода абстрактым вы- ражением некоторого случайного события. С каждым случай -ным событием можно связать одну или несколько характеризу- ющих его случайных величин. Например, при стрельбе по ми -шени можно рассмотреть такие случайные величины: число попаданий в мишень, частота попаданий в мишень, количество очков, набираемых при попадании в определённые области мишени и т.д.

§ 2 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь меж- ду возможными значениями случайной величины и соответст- вующими им вероятностями.

Если вспомнить определение функции, то закон распреде -ления является функцией, область определения которой есть область значений случайной величины, а область значений рассматриваемой функции состоит из вероятностей значений случайной величины.

2.1. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим дискретную случайную величину , воз- можные значения которой нам известны. Но зна- ние значений случайной величины, очевидно, не позволяет нам её полностью описать, так как мы не можем сказать, насколь- ко часто следует ожидать тех или иных возможных значений случайной величины при повторении опыта в одних и тех же условиях. Для этого необходимо знать закон распределения вероятностей.

В результате опыта дискретная случайная величина прини –мает одно из своих возможных значений, т.е. произойдёт одно из событий:

которые образуют полную группу несовместных событий.

Вероятности этих событий:

Простейшим законом распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой приведены все возмож- ные значения случайной величины и соответствующие им ве –роятности:

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины .

Для наглядности, ряд распределения можно представить графиком:

Эта ломаная называется многоугольником распределения . Это также одна из форм задания закона распределения дискрет – ной случайной величины .

Сумма ординат многоугольника распределения, представля – ющая сумму вероятностей всех возможных значений случай -ной величины, равна единице.

Пример 1. Произведено три выстрела по мишени. Вероят- ность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Составить ряд распределения числа попаданий.

Случайная величина - «число попаданий» может прин- мать значения от 0 до 3 – х, причём в этом случае вероят – ности определяются по формуле Бернулли:

.

	0,027	0,189	0,441	0,343

Проверка

Пример 2. В урне назодится 4 белых и 6 чёрных щаров. Наугад извлекаются 4 шара. Найти закон распределения слу- чайной величины - «число белых шаров среди отобран -ных».

Эта случайная величина может принимать значения от 0 до 4 – х. Найдём вероятности аозможных значений случайной величины.

Можем проверить, что сумма полученных вероятностей рав- на единице.

2.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .

Ряд распределения нельзя построить для непрерывной слу- чайной величины, так как она принимает бесконечно много значений. Более универсальным законом распределения под- ходящим, как для дискретной, так и для непрерывной слу - чайной величины является функция распределения.

Определение. Функцией распределения (интегральным зако- ном распределения) случайной величины называется зада- ние вероятности выполнения неравенства , т.е.

(1)

Таким образом, функция распределения равна вероят -ности того, что случайная величина в результате опыта попа- дает левее точки .

Для дискретной случайной величины, для которой мы знаем ряд распределения:

функция распределения будет иметь вид:

График функции распределения дискретной случайной вели- чины - разрывная ступенчатая фигура. Для наглядности, рассмотрим пример.

Пример 3 Дан ряд паспределения. Найти функцию распре -деления и построить её график

	0,2	0,1	0,3	0,4

По определению,

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1 Функция распределения - это неотрицательная фун- кция, значения которой заключены между 0 и 1, т.е.

2 Вероятность появления случайной величины в про- межутке равна разности значений функции распределения на концах промежутка:

3 Функция распределения - неубывающая функция, т.е. при выполнено: ;

Перейдём в равенстве (2) к пределу при . Полу- чим вместо вероятности попадания случайной величины в про- межуток вероятность точечного значения случайной величины, т.е.

Значение этого предела зависит от того, является ли точка точкой непрерывности функции , или в этой точке функция имеет разрыв. Если функция непрерыв- на в точка , то предел равен 0, т.е. . Если же в этой точке функция имеет разрыв (1 – го ро- да), то предел равен значению скачка функции в точке .

Так как непрерывная случайная величина имеет непрерыв -ную функцию распределения , то из равенства нулю предела (3) следует, что вероятность любого фиксированного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Это следует из того, что возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно много. Из этого, в частности, следует, что следующие вероятности совпадают:

Приведённые свойства функции распределения можно сфор- мулировать следующим образом: функция распределения - это неотрицательная неубывающая функция, удовлетворяющая ус –ловиям: Обратное утверждение также имеет место: монотонно возрастающая непрерывная функция, удовлетворяющая условиям

является функцией распределения некоторой непрерывной слу- чайной величины. Если значения этой величины сосредоточе -ны на некотором промежутке , то график этой функции можно схематически изобразить следующим образом:

Рассмотрим пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Найти значение « », построить график и найти веро –ятность

Так как функция распределения непрерывной случайной ве- личины непрерывна, то - непрерывная функция, и при должно выполгяться равенство:

или , т.е.

Построим график этой функции

Найдём требуемую вероятность

Замечание. Функцию распределения, иногда ещё называют интегральным законом распределения . Ниже объясним, почему именно.

2.3 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Так как с помощью функции распределения дискретной

случайной величины в любой точке мы можем определить вероятность возможных значений, то она однозначно опре- деляет закон распределения дискретной случайной величины.

Однако по функции распределения трудно судить о харак- тере распределения непрерывной случайной величины в не -большой окрестности той или иной точки числовой оси.

Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины вблизи различных точек даёт функция, которую называют плотностью распределения (или дифференциальным законом распределения)

Пусть - непрерывная случайная величина с функцикй распределения . Найдём вероятность попадания этой случайной величины в элементарный участок .

По формуле (2), имеем

Разделим это равенство на

Отношение, стоящее слева, называется средней вероятно –стью на единице длины участка.

Считая функцию дифференцируемой, перейдём к перейдём в этом равенстве к пределу

Определение. Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок к длине этого участка при называ- ется плотностью распределения непрерывной случайной ве – личины и обозначается Следовательно,

Плотность распределения показывает, насколько часто слу -чайная величина появляется в некоторой окрестности точ –ки при повторении опытов.

Кривая, изображающая график плотности распределения, на- зывается кривой распрелеления.

Если возможные значения случайной величины запол- няют некоторый промежуток , то вне этого промежутка.

Определение. Случайная величина называется непре – рывной , если её функция распределения непрерывна на всей числовой прямой, а плотность распределения не- прерывна везде, за исключением может быть конечного числа точек (точек разрыва 1 – го рода).

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Плотность распределения неотрицательна, т.е.

(это следует из того, что - производная неубывающей функции ).

2. Функция распределения непрерывной случайной величи-

ны равна интегралу от плотности распределения (и поэтому является интегральным законом распределения), т.е.

В самом деле, (по определению дифференциала функции). Следовательно,

На графике плотности распределения функция распределения

изображается площадью заштрихованной области.

3. Вероятность попадания случайной величины на участок равна интегралу от плотности распределения по этому промежутку, т.е.

В самом деле,

4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распре –деления равен единице, т.е.

Другими словами, площадь фигуры под графиком плотности распределения равна 1. В частности, если возможные значе- ния случайной величины сосредоточены на участке , то

Пример. Пусть плотность распределения зазана функцией

Найти: а) значение параметра ; б) функцию распределения в) Вычислить вероятность того, что случайная величи- на примет значение из отрезка .

а) По свойству 4, . Тогда

б) По свойству 2, Если

Если , .

Таким образом,

в) По свойству 3,

§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ

При решении многих практических задач нет необходимости знать все вероятностные характеристики случайной величины. Иногда достаточно знать только некоторые числовые характе - ристики закона распределения.

Числовые характеристики позволяют в сжатой форме выра -зить наиболее существенные особенности того или иного рас- пределения.

О каждой случайной величине прежде всего необходимо знать её среднее значения, около которого группируются все возможные значения этой величины, а также некоторое число, характеризующее степень рассеяния этих значений относитель- но среднего.

Различают характеристики положения и характеристики рас- сеяния. Одной из самых важных характеристик положения яв- ляется математическое ожидание.

3.1 Математическое ожидание (среднее значение).

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину, име -ющую возможные значения с вероятностями

Определение. Математическим ожиданием дискретной слу- чайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности, т.е.

По другому, математическое ожидание обозначается

Пример. Пусть дан ряд распределения:

	0,2	0,1	0,3	0,4

Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину все возможные значения которой заключены в отрезке .

Разобьём этот отрезок на частичных отрезков, длины которых обозначим: , и в каждом частичном интервале возьмём по произвольной точке, соответственно .

Так как произведение при- ближённо равно вероятности попадания случайной величины на элементарный участок , то сумма произведений составленная по аналогии с опреде -лением математического ожидания дискретной случайной ве- личины, приближённо равна математическому ожиданию не -прерывной случайной величины Пусть .

Тогда

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется следующий определённый интеграл:

(2)

Если непрерывная случайная величина принимает значения на всей числовой прямой, то

Пример. Пусть дана плотность распределения непрерывной случайной величины:

Тогда её математическое ожидание:

Понятие математического ожидания имеет простую меха -ническую интерпретацию. Распределение вероятностей слу -чайной величины можно интерпретироварь как распределение единичной массы по прямой. Дискретной случайной величине, принимающей значения с вероятностями соответствует прямая, на которой массы сосредоточены в точках . Непре- рывной случайной величине отвечает непрерывное распреде -ление масс на всей прямой или на конечном отрезке этой прямой. Тогда математическое ожидание - это абсцисса цент- ра тяжести .

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно вынести за знак матема- тического ожидания:

3. Математическое ожидание алгебраической суммы слу –чайных величин равна алгебраической сумме их мате- матических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математи -ческих ожиданий:

5. Математическое ожидание отклонения случайной вели- чины от её математического ожидания равно нулю:

3.2. Мода и медиана случайной величины.

Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины.

Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции .

Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно.

Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.

Определение. Медианой случайной величины на – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.

Пример. Дана плотность случайной величины:

Найти медиану этой случайной величины.

Медиану найдём из условия . В нашем случае,

Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.

Замечание . Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.

3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего.

Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е.

(3)

(4) для непрерывной случайной величины:

(5)

Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием.

Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. .

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.

В самом деле, по определению

Так как .

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.

2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е.

3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.

Следствие из 2 и 3 свойств:

Рассмотрим примеры..

Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.

	- 1
	0,2	0,05	0,2	0,3	0,25

Сначала найдём

Тогда среднее квадратическое отклонение

Пример 2 . Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:

Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3.4 Моменты случайных величин.

Различают моменты двух видов: начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом порядка случайной

величины называют математическое ожидание величины , т.е. .

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка.

Определение. Центральным моментом полрядка слу -чайной величины называется математическое ожидание ве- личины , т.е.

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной -

Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ; характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения. называется коэффициентом асимметрии.

Служит для характеристики островерхости распределения.

Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число

Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс (), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс ().

Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины.

Найдём необходимые для этого моменты:

Тогда коэффициент асимметрии: (отрицательная асимметрия).

Случайная величина как фундаментальное понятие теории вероятности имеет большое значение в ее приложениях. Это понятие является абстрактным выражением случайного события. Более того, оперировать со случайными величинами иногда более удобно, чем со случайными событиями.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение (до опыта неизвестно, какое именно).

События принято обозначать большими буквами латинского алфавита, вероятность буквой Р, например, Р(А). Реализации события (случайные величины) обозначаются малыми буквами: a 1 , a 2 , …, a n .

Поскольку в теории вероятностей и математической статистике рассматриваются массовые явления, то случайная величина, как правило, характеризуется возможными значениями и их вероятностями.

Среди встречающихся в практике случайных величин можно выделить дискретные и непрерывные.

Дискретными случайными величинами называются такие, которые принимают только отделенные друг от друга значения и могут быть заранее перечислены. Например, количество автомобилей на заданном километровом участке дороги в конкретный момент времени; число бракованных узлов деталей автомобиля в партии из n штук.

Для дискретных случайных величин характерно, что они принимают отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Например, количество автомобилей на заданном участке дороги может принимать только целочисленные значения 0, 1,2, ..., п и зависит от времени суток и интенсивности движения.

Существуют случайные величины другого типа, которые чаще встречаются и имеют большое практическое значение.

Непрерывной случайной величиной называется такая, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал числовой оси). Интервал числовой оси может быть конечным или бесконечным. Примерами непрерывных случайных величин являются время безотказной работы автомобиля в заданных дорожных условиях, скорость движения автомобиля на заданной дороге, ошибка измерения.

В отличие от дискретных возможные значения непрерывных случайных величин нельзя заранее перечислить, так как они непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Случайные величины обозначаются обычно большими буквами латинского алфавита - X, Y, Z, Т, а их возможные значения соответствующими малыми x i , y i , z i , t i , где i = 1, 2, .... п.

Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значениями x 1 , x 2 , …, x n . В результате проведения многократных опытов величина Т может принять каждое из значений x i , т. е.:

X = x 1 ; X = x 2 ; …; X = x n .

Обозначим вероятности этих событий буквой р с соответствующими индексами:

P(X = x 1)= p 1 ; P(X = x 2)= p 2 ; …; P(X = x n)= p n .

Исходя из того, что события x i образуют полную группу несовместимых событий, т. е. никаких других событий произойти не может, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Т равна единице.

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины

Дискретную случайную величину можно полностью описать с вероятностной точки зрения, если точно указать вероятность каждого события, т. е. задать это распределение. Этим будет установлен закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями . Зная его, можно до опыта судить о том, какие значения случайной величины будут появляться чаще и какие реже. Способы или формы представления закона распределения случайной величины различны.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Т является ряд распределения или таблица, в которой перечислены возможные значения этой величины и соответствующие им вероятности.