Вопрос 3. Постулаты Бора и объяснение происхождения линейчатых спектров. Закономерности в атомных спектрах.

Таким образом, модель атома Н. Бора объясняет дискретный (линейчатый) характер спектра излучения атома водорода.

Опыт Франка и Герца. Существование дискретных энергетических уровней атомов подтверждается опытом Д. Франка и Г. Герца, которые за экспериментальные исследования дискретности энергетических уровней в атомах получили Нобелевскую премию (1925 г.).

В опытах использовалась трубка (рис. 19.8), заполненная парами ртути при давлении р ≈ 1 мм рт. ст. и три электрода: катод К , сетка С и анод А и измерять вольтметром V. Электроны ускорялись разностью потенциалов U между катодом и сеткой. Эту разность потенциалов можно было изменять с помощью потенциометра П . Между сеткой и анодом создавалось тормозящее поле 0,5 В (метод задерживающих потенциалов). Определялась зависимость тока через гальванометр Г от разности потенциалов U между катодом и сеткой.

Рис. 19.8 Рис. 19.9

В эксперименте была получена зависимость, изображенная на рис. 19.9. Здесь U = 4,86 В – соответствует первому потенциалу возбуждения атома.

Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определенными порциями , равными разности энергии соответствующих стационарных состояний атома.

Из опыта следует, что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В анодный ток возрастает монотонно, его значение проходит через максимум при 4,86 В , затем резко уменьшается и возрастает вновь. Дальнейшие максимумы наблюдаются при значениях, кратных значению 4,86 В ускоряющего потенциала, т.е. 2·4,86 В и 3·4,86 В . Ближайшим к основному, невозбужденному состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоящее по шкале энергий на 4,86 В . Пока разность потенциалов между катодом и сеткой меньше 4,86 В , электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними только упругие соударения. При e φ = 4,86 эВ энергия электрона становится достаточной, чтобы вызвать неупругий удар, при котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального состояния в возбужденное. Электроны, потерявшие свою кинетическую энергию, уже не смогут преодолеть тормозящий потенциал и достигнуть анода. Этим и объясняется резкое падение анодного тока при e φ = 4,86 эВ.

При значениях энергии, кратных 4,86 эВ , электроны могут испытывать с атомами ртути 2, 3, … неупругих соударения. При этом они полностью теряют свою энергию и не достигают анода, т.е. наблюдается резкое падение анодного тока. Таким образом, опыт показал, что электроны передают своюэнергию атомам ртути порциями, причем 4,86 эВ – наименьшая возможная порция, которая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Следовательно, идея Бора о существовании в атомах стационарных состояний блестяще выдержала проверку экспериментом.

Атомы ртути, получившие при соударении с электронами энергию ΔE , переходят в возбужденное состояние и должны вернуться в основное, излучая при этом, согласно второму постулату Бора, квант света с частотой ν = ΔE / h . По известному значению ΔE = 4,86 В можно вычислить длину волны светового кванта: λ = hс / ΔE ≈ 255 нм . Таким образом, если теория верна, то атомы ртути, бомбардируемые электронами с энергией 4,86 эВ , должны являться источником ультрафиолетового излучения с λ ≈ 255 нм , что действительно обнаружилось в опытах.

Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили не только первый, но и второй постулат Бора и внесли большой вклад в развитие атомной физики.

Для водородоподобных ионов обобщенная сериальная формула Бальмера-Ридберга имеет вид:

. (19.20)

Используя постоянную Ридберга, получим выражение для энергии атома водорода:

, (19.21)

или . (19.22)

При n = 1 эта энергия равна работе ионизации атома водорода, т.е.

׀e ׀ U i , (19.23)

где , U i – потенциал ионизации, т.е. та наименьшая разность потенциалов, которую должен пройти электрон в электрическом поле, чтобы при столкновении с данным невозбужденным атомом ионизировать его. Работа по удалению электрона из атома равна работе сил электрического поля, ускоряющего электрон. Различают также потенциалы возбуждения атома. Например, первый потенциал возбуждения φ 1 – это ускоряющее напряжение, соответствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние. Учитывая квантовый характер поглощения энергии атомом, можно утверждать, что работа ионизации (или работа по возбуждению атома) равна энергии кванта hν , поглощенной атомом водорода при переходе электрона с первой боровской орбиты в бесконечность (или, например, на вторую орбиту).

Постоянная Ридберга (19.16) или (19.18) вычислена в предположении, что в атоме водорода электрон вращается вокруг «неподвижного» ядра, что возможно, строго говоря, при условии, когда масса ядра бесконечно велика в сравнении с массой электрона, поэтому эту постоянную часто снабжают индексом .

На самом же деле ядро и электрон вращаются вокруг их общего центра масс, что приводит к несколько иному значению для этой постоянной:

, (19.24)

где M – масса атомного ядра. Это обстоятельство учитывается на практике и при решении некоторых задач, где речь идет о сравнении спектров различных атомов. Например, благодаря чрезвычайной точности спектроскопических методов, появляется возможность экспериментально обнаружить различие в спектрах излучения изотопов водорода - атомов, отличающихся массами ядер. Практически, именно так, спектроскопическими методами был открыт изотоп тяжелого водорода - дейтерий D , для которого M D = 2M H .

Теория Бора стала важным шагом в развитии физики атома. Она позволила объяснить механизм возникновения спектров и рассчитать частоты спектральных линий атома водорода и водородоподобных атомов (Нобелевская премия, 1922 год). Однако возникли принципиальные трудности при попытке использовать ее для объяснения спектральных закономерностей сложных атомов, содержащих более одного электрона, и молекул, а также для объяснения механизма образования молекул из атомов, т.е. при создании физической теории химических реакций. Кроме того, теория Бора является непоследовательной, поскольку введенное в нее Бором правило квантования момента импульса в принципе несовместимо с используемым классическим описанием поведения электрона. Сущность этого несоответствия выявилась лишь в 1924 году благодаря гипотезе де Бройля, которая позволила корпускулярно-волновой дуализм света распространить на микрочастицы.

Модель Бора не позволяет дать физическую интерпретацию правилу квантования. Это было сделано десятилетием позже де Бройлем на основе представлений о волновых свойствах частиц. Де Бройль предположил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, распространяющейся по окружности около ядра атома. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис 19.10). Здесь показаны стоячие волны де Бройля, укладывающиеся вдоль круговой орбиты. Орбита показана тонкой линией, n – число полных волн, укладывающихся вдоль нее.

Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами. В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн λ n , т.е. nλ n =2πr n . В результате, боровское правило квантования оказалось связанным с волновыми свойствами электронов.

Изучение спектров излучения сыграло большую роль в познании строения атомов. В первую очередь это касается спектров, обусловленных излучением невзаимодействующих друг с другом атомов. Эти спектры состоят из отдельных узких спектральных линий, и их называют линейчатыми.

Наличие многих спектральных линий указывает на сложность внутреннего строения атома. Изучение атомных спектров послужило ключом к познанию внутренней структуры атомов. Прежде всего, было замечено, что спектральные линии расположены не беспорядочно, а образуют серии линий. Изучая линейчатый спектр атомарного водорода , Бальмер (1885 г.) установил некоторую закономерность. Для части линий соответствующие им частоты можно в современных обозначениях представить так:

где w - циклическая частота, соответствующая каждой спектральной линии (w = 2πc /l ), R - постоянная, называемая постоянной Ридберга :

R =2,07×10 16 c -1 . (2.2)

Формулу (2.1) называют формулой Бальмера , а соответству- Рис.2.1 ющую серию спектральных линий - серией Бальмера (рис.2.1). Основные линии этой серии находятся в видимой части спектра.

Дальнейшие исследования спектра атомарного водорода показали, что имеется еще несколько серий.

В ультрафиолетовой части спектра - серия Лаймана :

(2.3)

а в инфракрасной части спектра – серия Пашена :

(2.4)

Все эти серии можно представить в виде обобщенной формулы Бальмера :

(2.5)

где - постоянное для каждой серии число: . Для серии Лаймана , n 0 = 1, для серии Бальмера и т. д. При заданном n 0 число n принимает все целочисленные значения, начиная с n 0 + 1.

Максимальной длине волны серии Лаймана (3.12.3) отвечает n = 2, это l макс = 2πс /w мин = 8 с /3R = 121,6 нм. Соответствующую спектральную линию называют резонансной линией водорода.

С ростом n частота линий в каждой серии стремится к предельному значению , которое называют границей серии (рис.2.1). За границей серии спектр не обрывается, а становится сплошным. Это присуще не только всем сериям водорода, но и атомам других элементов.

Таким образом, интересующая нас серия Бальмера заключена в спектральном интервале от 365 нм до 656 нм, т. е. действительно, все основные линии ее расположены в видимой области спектра.

Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома.

Излучение электромагнитных волн возможно при ускоренном движении зарядов. Атом в целом электрически нейтрален. С другой стороны известно, что в состав атома входят отрицательно заряженные электроны. Следовательно, в его состав должны входить также положительно заряженные частицы.

Принятую в настоящее время модель атома предложил Резерфорд, базируясь на результатах своих опытов по рассеянию −частиц.

В этих опытах очень тонкая золотая фольга облучалась пучком −частиц с довольно большой энергией. –частицами называют один из видов частиц, испускаемых некоторыми веществами при радиоактивном распаде. В то время уже были известны масса –частицы () и ее положительный заряд, равный удвоенному элементарному заряду (модулю заряда электрона). Проходя сквозь фольгу, –частицы рассеивались атомами вещества, т.е. отклонялись на некоторый угол от первоначального направления. Регистрация рассеянных частиц осуществлялась по вспышкам света, возникающим при их ударе об экран, покрытый сернистым цинком.

В результате опытов оказалось, что почти все - частицы проходили сквозь фольгу, отклоняясь на очень небольшие углы. Однако было небольшое количество –частиц, которые отклонялись на очень большие углы (почти до 180 ). Проанализировав результаты опытов, Резерфорд пришел к выводу, что столь сильное отклонение −частиц возможно при их взаимодействии с положительно заряженной частью атома, в которой сосредоточена его основная масса.

Размеры этой части можно оценить, если предположить, что −частица, отбрасывается в обратном направлении после «упругого лобового столкновения» с положительно заряженной частью атома. Для этого нужно приравнять кинетическую энергию −частицы к потенциальной энергии ее взаимодействия с этой частью атома в момент остановки −частицы:

, (2.6)

где V - скорость −частицы, 2е – ее заряд, Zе – заряд положительной части атома, - минимальное расстояние, на которое −частица сможет приблизиться к положительной части атома (в атомной физике принято использовать Гауссову систему единиц). Положив в этом равенстве Z = 79 (золото), V =10 , =4·1,66·10 г = 6,6·10 г, получим

Напомним, что, изучая свойства газов с помощью методов кинетической теории, можно определить размеры атомов. Найденные таким способом размеры для всех атомов имеют порядок 10 см. Таким образом, размер положительной части атома оказался на несколько порядков меньше размера атома.

На основании этих оценок Резерфорд предложил ядерную (или планетарную) модель атома. Весь положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в его ядре , размер которого ≈ 10 см, пренебрежимо мал по сравнению с размером атома. Вокруг ядра движутся электроны, занимая огромную по сравнению с ядром область с линейным размером порядка 10 см.

Однако, если принять эту модель, то становится непонятно, почему электроны не падают на ядро. Между электроном и ядром существует только кулоновская сила притяжения. Поэтому электрон не может покоиться. Он должен двигаться вокруг ядра. Но в этом случае, согласно законам классической физики, он должен излучать, причем на всех частотах, что противоречит опыту. Теряя энергию, электрон должен упасть на ядро (атом высветится). Оценки показали, что вся его энергия будет излучена за время порядка 10 с. Это и будет «время жизни» атома.

Постулаты Бора.

Абсолютная неустойчивость планетарной модели Резерфорда и вместе с тем удивительная закономерность атомных спектров, и в частности их дискретность, привели датского физика Н.Бора к необходимости сформулировать (1913 г.) два важнейших постулата квантовой физики:

1. Атом может длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях , которые характеризуются дискретными значениями энергии Е 1 , Е 2 , Е 3 , … В этих состояниях, вопреки классической электродинамике, атом не излучает.

2. При переходе атома из стационарного состояния с большей энергией Е 2 в стационарное состояние с меньшей энергией Е 1 происходит излучение кванта света (фотона) с энергией ћw :

(2.7)

Такое же соотношение выполняется и в случае поглощения, когда падающий фотон переводит атом с низшего энергетического уровня Е 1 на более высокий Е 2 , а сам исчезает.

Соотношение (2.7) называют правилом частот Бора. Заметим, что переходы атома на более высокие энергетические уровни могут быть обусловлены и столкновением с другими атомами.

Таким образом, атом переходит из одного стационарного состояния в другое скачками (их называют квантовыми). Что происходит с атомом в процессе перехода этот вопрос в теории Бора остается открытым.

Опыты Франка и Герца .

Эти опыты, проведенные в 1913г. дали прямое доказательство дискретности атомных состояний. Идея опытов заключается в следующем. При неупругих столкновениях электрона с атомом происходит передача энергии от электрона атому. Если внутренняя энергия атома изменяется непрерывно, то атому может быть передана любая порция энергии. Если же состояния атома дискретны, то его внутренняя энергия при столкновении с электроном должна изменяться также

дискретно - на значения, равные разности внутренней Рис.2.2 энергии атома в стационарных состояниях.

Следовательно, при неупругом столкновении электрон может передать атому лишь определенные порции энергии. Измеряя их, можно определить значения внутренних энергий стационарных состояний атома.

Это и предстояло проверить экспериментально с помощью установки, схема которой показана на рис.2.2. В баллоне с парами ртути под давлением порядка 1 мм рт.ст . (»130 Па ) имелись три электрода: К - катод, С - сетка и А - анод.

Электроны, испускаемые вследствие термоэлектронной эмиссии горячим катодом, ускорялись разностью потенциалов V между катодом и сеткой. Величину V можно было плавно менять. Между сеткой и анодом создавалось слабое тормозящее поле с разностью потенциалов около 0,5 В.

Таким образом, если какой-то электрон проходит сквозь сетку с энергией, меньшей 0,5 эВ, то он не долетит до анода. Только те электроны, энергия которых при прохождении сетки больше 0,5 эВ, попадут на анод, образуя анодный ток I , доступный измерению. Рис.2.3

В опытах исследовалась зависимость анодного тока I (измеряемого гальванометром G ) от ускоряющего напряжения V (измеряемого вольтметром V ). Полученные результаты представлены на графике рис.2.3. Максимумы соответствуют значениям энергии

Е 1 = 4,9 эВ , Е 2 = 2 Е 1 , Е 3 = 3Е 1 и т. д.

Такой вид кривой объясняется тем, что атомы действительно могут поглощать лишь дискретные порции энергии, равные 4,9 эВ.

При энергии электронов, меньшей 4,9 эВ, их столкновения с атомами ртути могут быть только упругими (без изменения внутренней энергии атомов), и электроны достигают сетки с энергией, достаточной для преодоления тормозящей разности потенциалов между сеткой и анодом. Когда же ускоряющее напряжение V становится равным 4,9 эВ, электроны начинают испытывать вблизи сетки неупругие столкновения, отдавая атомам ртути всю энергию, и уже не смогут преодолеть тормозящую разность потенциалов в пространстве за сеткой. Значит, на анод А могут попасть только те электроны, которые не испытали неупругого столкновения. Поэтому, начиная с ускоряющего напряжения 4,9В анодный ток I будет уменьшаться.

При дальнейшем росте ускоряющего напряжения достаточное число электронов после неупругого столкновения успевает приобрести энергию, необходимую для преодоления тормозящего поля за сеткой. Начинается новое возрастание силы тока I . Когда ускоряющее напряжение увеличится до 9,8В , электроны после одного неупругого столкновения (примерно на середине пути, когда они успевают набрать энергию 4,9эВ ) достигают сетки с энергией 4,9эВ , достаточной для второго неупругого столкновения. При втором неупругом столкновении электроны теряют всю свою энергию, и не достигают анода. Поэтому анодный ток I начинает опять уменьшаться (второй максимум на графике). Аналогично объясняются и последующие максимумы.

Из результатов опытов следует, что разница внутренних энергий основного состояния атома ртути и ближайшего возбужденного состояния равна 4,9эВ , что и доказывает дискретность внутренней энергии атома.

Аналогичные опыты были проведены в дальнейшем с атомами других газов. И для них были получены характерные разности потенциалов, их называют резонансными потенциалами или первыми потенциалами возбуждения. Резонансный потенциал соответствует переходу атома из основного состояния (с минимальной энергией) в ближайшее возбужденное. Для обнаружения более высоких возбужденных состояний была использована более совершенная методика, однако принцип исследования оставался тем же.

Итак, все опыты такого рода приводят к заключению, что состояния атомов изменяются лишь дискретно. Опыты Франка и Герца подтверждают также и второй постулат Бора - правило частот. Оказывается, что при достижении ускоряющего напряжения 4,9В пары ртути начинают испускать ультрафиолетовое излучение с длиной волны 253,7нм . Это излучение связано с переходом атомов ртути из первого возбужденного состояния в основное. Действительно, из условия (2.7) следует, что

Этот результат хорошо согласуется с предыдущими измерениями.

Похожая информация.

Полосатые и линейчатые спектры

Светящиеся газы показывают линейчатые спектры излучения, которые состоят из отдельных линий. Если свет пропускать через газ, то появляются линейчатые спектры поглощения, при этом атом поглощает спектральные линии, которые сам способен испускать. Первым изучался спектр атома водорода. Во второй половине XIX века проводились множество исследований спектров излучения. Было получено, испускаемый молекулярный спектр представляет собой совокупность широких размытых полос, у которых отсутствуют резкие границы. Такие спектры получили названия полосатых.

Спектр излучения атомов принципиально отличен по виду. Он состоит из четко обозначенных линий. Спектры атомов называют линейчатыми. Для каждого элемента есть определенный испускаемый только им линейчатый спектр. При этом вид спектра излучения не зависит от способа, которым возбужден атом. По такому спектру определяют принадлежность спектра элементу.

Закономерности в линейчатых спектрах

Линии в спектре расположены закономерно. Найти данные закономерности и объяснить их - важная задача физического исследования. Первым эмпирическую формулу, которая описала часть линий излучения для спектра атома водорода, получил Бальмер. Он отметил, что длины волн, девяти линий спектра водорода, которые были известны в то время, могут вычисляться по формуле:

где $\lambda =364,613\ нм,\ n=3,4,\dots ,11.$

Анализ экспериментальных материалов показал, что отдельные линии в спектре можно объединять в группы линий, которые называют сериями. Ридберг записал формулу (1) в виде:

Серию линий спектра получают в соответствии с формулой (8), если одно из целых чисел фиксируется, а другое принимает все целые значения, которые больше числа, которое фиксировано.

Граничные частоты (граничные волновые числа) серий спектра водорода определены как:

Формула (8) подтверждается эмпирически с высокой спектроскопической точностью. Особая роль целых чисел, ставшая очевидной в закономерностях спектров, до конца была осмыслена только в квантовой механике.

Пример 1

Задание: Какова максимальная ($E_{max}$) и минимальная ($E_{min}$) энергии фотона в серии Бальмера?

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем сериальную формулу для частот спектра атома водорода:

\[{\nu }_{n2}=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)\left(n=3,4,5,\dots \right)\left(1.1\right),\]

где $R=3,29\cdot {10}^{15}c^{-1}$- константа Ридберга.

Минимальная энергия фотона может быть вычислена при использовании выражения:

Максимальная энергия находится при $n=\infty $:

Рисунок 1.

Ответ: $E_{min}=\frac{5}{36}hR,\ E_{max}=\frac{1}{4}hR.$

Пример 2

Задание: Определите, какова длина волна, которая соответствует: 1) границе серии Лаймана, 2) границе серии Бальмера.

Решение:

1) В качестве основы для решения задачи используем сериальную формулу для длин волн спектра водорода (серия Лаймана):

\[\frac{1}{{\lambda }_1}=R"\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2}\right)\left(n=2,3,4,\dots ,\infty \right)\left(2.1\right),\]

где $R"=1,1\cdot {10}^7м^{-1}.$ На границе $n=\infty \ $преобразуем выражение (2.1) в формулу:

\[\frac{1}{{\lambda }_1}=R"\left(\frac{1}{1^2}\right)\to {\lambda }_1=\frac{1}{R"}.\]

Проведем вычисление:

\[{\lambda }_1=\frac{1}{1,1\cdot {10}^7}=0,91\cdot {10}^{-7}\left(м\right).\]

2) В качестве основы для решения второй части задачи используем сериальную формулу для длин волн спектра водорода (серия Бальмера):

\[\frac{1}{{\lambda }_2}=R"\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)\left(n=3,4,\dots ,\infty \right)при\ n=\infty \to \frac{1}{{\lambda }_2}=R"\frac{1}{2^2}\left(2.2\right),\]

Получим искомую длину волны:

\[{\lambda }_2=\frac{4}{R"}.\]

Проведем вычисления:

\[{\lambda }_2=\frac{4}{1,1\cdot {10}^7}=364\cdot {10}^{-9}\left(м\right).\]

Ответ: ${\lambda }_1=910нм$, ${\lambda }_2=364\cdot {10}^{-9}$нм.

Одна из важнейших особенностей строения атомных спектров - это их сериальная структура. Сериальные закономерности представляют собой яркое проявление квантовых свойств излучающих атомных систем. Линии спектра атомов газа могут быть объединены в определенные, закономерно построенные группы - так называемые серии. Длины волн всех линий, принадлежащих к одной и той же серии, связаны между собой. Сериаль­ные закономерности в наиболее простой форме проявляются в спектре одноэлектронного атома водорода, для которого они и были впервые получе­ны.

Рассмотрим атом водорода и сходные с ним ионы (модель так называе­мого водородоподобного атома) , то есть предположим, что имеется атом­ная система, состоящая из ядра с зарядом z и одного электрона (z - поряд­ковый номер элемента в периодической системе).

Кулоновская сила / взаимодействия между ядром и электроном играет роль центростремительной силы, равной для круговой орбиты

где т - масса электрона, r - радиус орбиты. В электрическом поле ядра электрон обладает потенциальной энергией

(6)

Полная энергия электрона равна сумме потенциальной и кинетической энергий. С учетом (5) и (6) и знаков в этих выражениях, имеем:

(7)

Согласно представлениям классической электромагнитной теории, вращающийся по орбите электрон возбуждает вокруг себя переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве со скоростью света. Иначе говоря, ускоренно движущийся электрон при своем вращении вокруг ядра должен излучать и вследствие этого терять часть энергии. Та­ким образом, согласно классической механике, энергия электрона всё вре­мя уменьшается. Из формулы (7) следует, что меньшему значению энергии соответствует меньший радиус. В результате электрон должен упасть на ядро.

Из формулы (5) следует, что с уменьшением радиуса орбиты скорость движения электрона возрастает, то есть период обращения уменьшается. Это должно привести к непрерывному увеличению частоты излучаемых электромагнитных волн и атом должен излучать непрерывный (сплошной) спектр. Однако в действительности атом - устойчивая система и может из­лучать лишь линейчатый спектр. Выход из создавшегося противоречивого положения был предложен Бором.

Основываясь на гипотезе Планка о квантовом характере излучения и поглощения света, Бор сформулировал законы, описывающие состояние и движение электронов в атоме в виде определенных постулатов, которые дают объяснение экспериментальным данным. Постулаты эти таковы:

1. Электрон в атоме может вращаться только по строго определен­ным орбитам, радиусы которых определяются из условия:

(8)

где р - момент количества движения электрона; п - число, принимающее положительные целые значения 1, 2, 3, ... и определяющее принадлеж­ность к той или иной орбите; h - постоянная Планка. Все другие орбиты «запрещены».

Таким образом, Бор постулировал, что момент количества движения электрона в атоме, а значит и его энергия, может принимать только строго определенные дискретные значения, то есть величина момента импульса электрона квантована.

Спектральный анализ излучения, испускаемого атомами, дает обширную информацию об их строении и свойствах. Обычно наблюдают испускание света горячими одноатомными газами (или парами низкой плотности) или при электрическом разряде в газах.

Спектр излучения атомов состоит из отдельных дискретных линий, которые характеризуются длиной волны или частотой v = c/X. Наряду со спектрами излучения существуют спектры поглощения, которые наблюдают при пропускании излучения со сплошным спектром («белый» свет) через холодные пары. Линии поглощения характеризуются той же длиной волны, что и линии излучения. Поэтому говорят, что линии излучения и поглощения атомов взаимно обращаемы (Кирхгоф, 1859).

В спектроскопии более удобно использовать не длину волны излучения, а обратную величину v = l/X , которую называют спектроскопическим волновым числом , или просто волновым числом (Стони, 1871). Эта величина показывает, сколько длин волн укладывается на единице длины.

С помощью экспериментальных данных швейцарский физик Ритц в 1908 г. нашел эмпирическое правило, называемое комбинационным принципом , согласно которому существует система спектральных термов , или просто термов , Т п и Т , разность между которыми определяет спектроскопическое волновое число некоторой спектральной линии:

Термы считаются положительными. Их значение должно уменьшаться с увеличением номера п (и л,). Так как число линий излучения бесконечно, то бесконечно и число термов. Зафиксируем целое число п. Если считать число л, переменным со значениями л+ 1, л + 2, л + 3,..., то, согласно формуле (1.8), возникает ряд чисел, которым отвечает система спектральных линий, называемая спектральной серией. Спектральная серия - это совокупность спектральных линий, расположенных в определенной закономерной последовательности, и интенсивность которых также изменяется по определенному закону. При л,-о терм Т ->0. Соответствующее волновое число v n = Т п называют границей данной серии. При приближении к границе спектральные линии сгущаются, т. е. разность длин волн между ними стремится к нулю. Интенсивность линий также уменьшается. За границей серии следует сплошной спектр. Совокупность всех спектральных серий образует спектр рассматриваемого атома.

Комбинационный принцип (1.8) имеет также другую форму. Если у яя =Т-Т и у яя =Т-Т - волновые числа двух спек-

ЛЛ| П Л| ПП 2 П *

тральных линий одной и той же серии некоторого атома, то разность этих волновых чисел (при л, > л 2):

представляет собой волновое число спектральной линии какой-то другой серии того же атома. Вместе с тем не всякие возможные комбинационные линии реально наблюдаются в эксперименте.

Комбинационный принцип в свое время был совершенно непонятным и считался забавной игрой чисел. Лишь Нильс Бор в 1913 г. увидел в этой «игре» проявление глубоких внутренних закономерностей атома. Для большинства атомов аналитические выражения для термов неизвестны. Приближенные формулы подбирали с помощью анализа экспериментальных данных. Для атома водорода такие формулы оказались точными. В 1885 г. Бальмер показал, что длины волн наблюдаемых в спектре атома водорода четырех видимых линий -

H Q , Нр, Н у, H ft (рис. 1.6), которые впервые измерил Ангстрем (1868), с большой степенью точности можно вычислить по формуле

где число л = 3,4, 5, 6,.... Постоянная В= 3645,6-10 8 см была определена эмпирически. Для волнового числа из (1.10) следует формула

где R - эмпирическая постоянная Ридберга (1890), R = 4/B. Для атома водорода постоянная Ридберга равна

Из формулы (1.11) видно, что терм для атома водорода имеет простое выражение:

Следовательно, для волновых чисел спектральных серий атома водорода справедлива обобщенная формула Балтера :

Эта формула правильно описывает спектральные серии атома водорода, обнаруженные в эксперименте:

серия Балтера (л = 2, л,= 3, 4, 5, ...) - в видимой и ближней ультрафиолетовой частях спектра X = (6562...3646)* 10" 8 см:

серия Лаймана (1914) (л = 1, л, = 2, 3, 4, ...) - в ультрафиолетовой части спектра А = (1216...913)-10“ 8 см:

серия Пашена (1908) (л = 3, л, =4, 5, 6,...) - в инфракрасной части спектра Х= 1,88...0,82 мкм:

серия Брэккета (1922) (л = 4, л,=5, 6, 7, ...) - в далекой инфракрасной части спектра Х.=4,05... 1,46 мкм:

серия Пфунда (1924) (л = 5, л, =6, 7, 8,...) - в далекой инфракрасной части спектра Х=7,5...2,28 мкм:

серия Хамфри (1952) (л = 6, л, = 7, 8,...) - в далекой инфракрасной части спектра Х= 12,5...3,3 мкм:

Граница каждой серии определяется при л, головной линией данной серии.

1. Найти граничные длины волн спектральных серий атома водорода.

Ответ. Х т = n 1 /R . ф /

2. Определить головные линии спектральной серии.

Ответ. Х^ =л 2 (л + 1) 2 /я(2л + 1).

3. Определить предельные длины волн, между которыми расположены спектральные линии серии Бальмера.

О т в е т. Х ф = 3647-10" 8 см, Х^ = 6565-10’ 8 см.

4. Определить классический спектр атома водорода.

Решение. Электрон вместе с ядром можно рассматривать как электрический диполь, радиус-вектор которого периодически изменяется. Проекции радиуса-вектора электрона на декартовы оси также являются периодическими функциями, которые, в общем, можно представить в виде рядов

Фурье: *(/)= ^2 , y(t)= Я^е^ , где A s , B s - константы;

со - частота обращения электрона вокруг ядра, определяемая третьим законом Кеплера. Средняя за период 7’=2л/о) интенсивность излучения диполя

определяется формулой: I =----(х 2 +у 2 где х 2 =- Гdtx 2 . Отсюда еле-

6Л? 0 С 3 V > TJ

дует: / = ---{(/I 2 + 5 2)ш 4 + (л 2 + В )(2В)(3ш) 4 +...} Зле 0 с 3

Таким образом, спектр содержит частоту о и ее гармоники 2о), Зсо,... и представляет собой рядравноотстоящих линий. Это противоречит эксперименту.