Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в различных типах гидродинамических течений в настоящее время еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным образом на компьютерном исследовании модельных систем дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реальными гидродинамическими экспериментами. Дальнейшее изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соответствующих компьютерных и экспериментальных результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гидродинамическим движениям в ограниченных объемах; именно такие движения мы и будем иметь в виду ниже.

Прежде всего сделаем следующее общее важное замечание. При анализе устойчивости периодического движения интересны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1 - именно они при небольшом изменении R могут пересечь единичную окружность. Для течения вязкой жидкости число таких «опасных» мультипликаторов всегда конечно по следующей причине. Допускаемые уравнениями движения различные типы (моды) возмущений обладают разными пространственными масштабами (т. е. длинами расстояний, на которых существенно меняется скорость ).

Чем меньше масштаб движения, тем больше градиенты скорости в нем и тем сильнее оно тормозится вязкостью. Если расположить допустимые моды в порядке убывания их масштабов, то опасным может оказаться только некоторое конечное число первых из них; достаточно далекие в этом ряду заведомо окажутся сильно затухающими, т. е. им будут отвечать малые по модулю мультипликаторы. Это обстоятельство позволяет считать, что выяснение возможных типов потери устойчивости периодическим движением вязкой жидкости может производиться по существу так же, как и анализ устойчивости периодического движения диссипативной дискретной механической системы, описываемой конечным числом переменных (в гидродинамическом аспекте этими переменными могут, например, быть амплитуды компонент разложения поля скоростей в ряд Фурье по координатам). Соответственно этому становится конечномерным и пространство состояний.

С математической точки зрения речь идет об исследовании эволюции системы, описываемой уравнениями вида

где - вектор в пространстве величин описывающих систему; функция F зависит от параметра, изменение которого может приводить к изменению характера движения. Для диссипативной системы дивергенция вектора в х-пространстве отрицательна, чем выражается сокращение объемов х-пространства при движении:

Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состояний, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя.

Траектории могут стремиться к предельному циклу или к незамкнутой намотке на торе (соответственно образам периодического или квазипериодического движений), но могут вести себя и совершенно по-иному - сложно и запутанно. Именно эта возможность чрезвычайно существенна для понимания математической природы и выяснения механизма возникновения турбулентности.

Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости.

Эта картина имеет еще и другой аспект - чувствительная зависимость течения от малого изменения начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в задании начальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в определении конечного состояния. Если же движение неустойчиво, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее состояние системы уже невозможно предвидеть (Н. С. Крылов, 1944; М. Вот, 1952).

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать (Е. Lorenz, 1963); его принято называть стохастическим, или странным аттрактором.

На первый взгляд, требование о неустойчивости всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбегание траекторий. Это кажущееся противоречие устраняется если учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим.

В -мерном пространстве состояний траектории, принадлежащие странному аттрактору, не могут быть неустойчивы по всем (-направлениям (одно направление отвечает движению вдоль траектории), так как это означало бы непрерывный рост начального объема в пространстве состояний, что для диссипативной системы невозможно. Следовательно, по одним направлениям соседние траектории к траекториям аттрактора стремятся, а по другим - неустойчивым - от них уходят (рис. 19).

Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор.

Странный аттрактор может появиться уже после нескольких бифуркаций возникновения новых периодов: даже сколь угодно малая нелинейность может разрушить квазипериодический режим (незамкнутая обмотка на торе), создав на торе странный аттрактор (D. Ruelle, F. Takens, 1971). Это, однако, не может произойти на второй (начиная с разрушения стационарного режима) бифуркации. При этой бифуркации появляется незамкнутая обмотка на двумерном торе. Учет малой нелинейности не разрушает тора, так что странный аттрактор должен был бы быть расположен на нем. Но на двумерной поверхности невозможно существование притягивающего множества неустойчивых траекторий. Дело в том, что траектории в пространстве состояний не могут пересекаться друг с другом (или сами с собой); это противоречило бы причинности поведения классических систем: состояние системы в каждый момент времени однозначно определяет ее поведение в следующие моменты. На двумерной поверхности невозможность пересечений настолько упорядочивает поток траекторий, что его хаотизация невозможна.

Но уже на третьей бифуркации возникновение странного аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным!). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квазипериодическому режиму, расположен на трехмерном торе (S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens, 1978).

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии, на которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при компьютерном решении модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гидродинамических уравнений.

О структуре странного аттрактора можно, однако, высказать некоторые общие суждения, следующие уже из неустойчивости (седлового типа) траекторий и диссипативности системы.

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению «стационарной» турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее - их следы) заполняют определенную площадь; проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом - сжимается; ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение - объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться - в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев - поверхностей, на которых располагаются седловые траектории (своими притягивающими направлениями обращенные «наружу» аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю.

По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории канторовых. Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае -мерного пространства состояний.

Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве - меньшей размерности.

Последнее определяется следующим образом. Разобьем все -мерное пространство на малые кубики с длиной ребра и объемом Пусть - минимальное число кубиков, совокупность которых полностью покрывает аттрактор. Определим размерность D аттрактора как предел

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в -мерном пространстве: при малом в имеем (где V - постоянная), откуда видно, что можно рассматривать как число -мерных кубиков, покрывающих в -мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной; именно такова она для канторовых множеств.

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение «вышло на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента «объема» (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться - его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора.

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний.

Другими словами, предполагаем, что индивидуальная траектория воспроизводит свойства аттрактора, если двигаться по ней бесконечно долгое время.

Пусть уравнение такой траектории, одно из решений уравнений (31,1). Рассмотрим деформацию «сферического» элемента объема при его перемещении вдоль этой траектории. Она определяется уравнениями (31,1), линеаризованными по разности отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид

При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направлениях сжимается, в других растягивается и сфера превращается в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозначим последние посредством где индекс s нумерует направления. Ляпуновскими характеристическими показателями называют предельные значения

Становится отрицательной. Дробная часть размерности находится из равенства

(F. Ledrappier, 1981). Поскольку при вычислении d учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наибольшие по абсолютной величине отрицательные показатели в конце их последовательности), то даваемая величиной DL оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху. Эта оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке.

Системный подход в географии: эмерджентность и структурный изоморфизм.

Эмерджентность (англ. emergence - возникновение, появление нового) в теории систем - наличие у какой-либо системы особых свойств, не присущих её подсистемам и блокам, а также сумме элементов, не связанных особыми системообразующими связями; несводимость свойств системы к сумме свойств её компонентов; синоним - «системный эффект».

В биологии и экологии понятие эмерджентности можно выразить так: одно дерево - не лес, скопление отдельных клеток - не организм. Например, свойства биологического вида или биологической популяции не представляют собой свойства отдельных особей, понятия рождаемость, смертность, неприменимы к отдельной особи, но применимы к популяции или виду в целом.

В эволюционистике выражается как возникновение новых функциональных единиц системы, которые не сводятся к простым перестановкам уже имевшихся элементов.

В почвоведении: эмерджентным свойством почвы является плодородие.

В классификации систем эмерджентность может являться основой их систематики как критериальный признак системы.

идеи структурного изоморфизма – тождества структуры без тождества элементов содержания, - получившей распространение в географии в конце 60-х – начале 70-х гг. ХХ в. на фоне победного шествия системного подхода. Возможность применения одного и того же понятийного и математического аппарата, например, для описания меандрирования реки и изменения трассы федерального шоссе в США (в последнем случае тоже происходит прорыв своеобразных прирусловых валов, возникших в силу намного более высокой стоимости земли вблизи существующего шоссе – см. книгу В.Бунге) весьма полезна в практическом отношении и привлекательна в теоретическом.

Одной из ключевых идей вышедшей в 1962г. книги В.Бунге «Теоретическая география» (русский перевод опубликован в 1967г. ), была именно идея структурного изоморфизма, понимаемого как тождество способов пространственной организации географических явлений самой различной природы, изучаемых как физической географией, так и социально-экономической. Бунге смело заимствовал идеи из геоморфологии и прилагал их к описанию социально-географических явлений. Стало хрестоматийным сравнение меандрирования реки и изменение трассы федерального шоссе, так же вынужденного преодолевать «прирусловые валы» высоких цен на землю.

Наиболее распространенными моделями этого вида следует считать гравитационные и энтропийные модели, К последним примыкают и модели, разработанные в рамках теории диффузии нововведений. Все эти модели представляют собой заимствования из различных разделов физики – будь то классическая механика или термодинамика – с целью использования математического аппарата, например, для моделирования пассажиропотоков между городами в зависимости от их демографических масс. Понятно, что применение подобных моделей требует их калибровки – подбора значений констант на основе возможно более обширного эмпирического материала, а их прогнозная ценность в силу этого обстоятельства не безусловна.

Понятие аттрактора. Странные аттракторы.

Аттра́ктор (англ. attract - привлекать, притягивать) - множество состояний (точнее - точек фазового пространства) динамической системы, к которым она стремится с течением времени. Так, наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух) и периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество.

Аттракторы классифицируют по:

Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.

Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).

Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый») .

Синергетическая революция привела к глубочайшим изменениям в научном мировоззрении, прежде всего – к конституированию финалистского (телеологического) объяснения как равноправного каузальному (причинному), которое только и существовало в науке до создания квантовой механики. Однако тогда крах причинности коснулся лишь явлений микромира, области, бесконечно далекой от нашей повседневной жизни. Синергетическая революция привела к распространению финалистского объяснения на исследования некоторых явлений мезомира, т.е. того мира, в котором мы живем и который доступен нашему повседневному опыту. При этом нам весьма трудно свыкнуться с мыслью о том, что течение некоторых процессов определяется не начальными условиями, т.е. причиной, а конечным состоянием, к которому они стремятся. Это конечное состояние именуется в синергетике аттрактором – областью притяжения процесса.

Активное обсуждение финалистских представлений, пришедших из биологии и космологии, позволило изменить интеллектуальный климат в географии, поколебать взгляд на каузальное (причинное) объяснение как на единственно возможное в науке вообще и в географии в частности. Это изменение интеллектуального климата подготовило почву для проникновения идей синергетики, в том числе представлений об аттракторе – области притяжения процесса. Еще в 60-е годы ХХ в. получило распространение представление о конфинальности (эквифинальности) в развитии городов-гигантов – эти города обнаруживают несравненно больше сходства между собой, нежели те малые и средние города, из которых они выросли. Анализ развития транспортных сетей методами теории графов или анализ развития систем городского расселения методами теории центральных мест – это тоже примеры задач именно того класса, где наиболее плодотворны представления о детерминации процесса конечным состоянием, а не начальными условиями, о его стремлении к аттрактору, представляющему собой идеальный объект научной теории. И если аттрактор недостижим, это вовсе не значит, что он не существует.

Значение для географии теоретических конструкций типа потенциальной формы, определяющей направление развития отдельных организмов и эволюции биологических видов, или финальной симметрии весьма велико и оно не осталось незамеченным. Аналогия с каталогом форм устойчивой территориальной организации государств, который фактически был разработан В.П.Семеновым-Тян-Шанским, причем раньше, чем Л.С.Берг опубликовал свой знаменитый труд о номогенезе, столь очевидна, что не требует дополнительной аргументации. Остановиться следует на менее очевидных идеях. Это прежде всего представления о конфинальности (эквифинальности) в развитии городов-гигантов, выдвинутые П.Хаггетом еще в 60-е годы . Города этого класса обнаруживают несравненно большее сходство между собой, нежели малые города, из которых они выросли. Те же самые тенденции прослеживаются и в развитии систем городов. Системы центральных мест (город понимается как центральное место потому, что обслуживает не только свое население, но и население своей зоны, тем большей, чем выше уровень иерархии, к которому он принадлежит) также стремятся в своем развитии к определенному равновесному состоянию, т.н. изостатическому равновесию, которое выступает по отношению к ним в качестве аттрактора – области притяжения процесса

Примером исключительно плодотворного применения как аппарата нелинейной динамики, так и ее мировоззренческих принципов стала разработка феноменологической теории роста населения Земли С.П.Капицей, которая позволяет делать как перспективные, так и ретроспективные прогнозы и была с успехом сопоставлена с эмпирической реальностью с помощью последних. Самый важный в мировоззренческом отношении вывод состоит в том, что рост численности населения Земли никогда не регулировался действием внешних факторов, а всегда – неизвестными внутренними закономерностями. Это положение было оформлено создателем теории как принцип демографического императива.

Принципиальная трудность состоит в том, что все имеющиеся у нас в арсенале теории разработаны для описания процессов в обществе «экономическом», основаны на незыблемой вере в экономическое равновесие как аттрактор всех протекающих в экономике процессов, а социальные катаклизмы мы склонны рассматривать как внешние возмущения, уводящие систему от состояния равновесия, к которому она все равно при первой же возможности стремится вернуться. Между тем уже в самой экономической науке все шире распространяются сомнения в экономическом равновесии как «естественном» или «нормальном» состоянии экономики. Их высказывает, в частности, такой влиятельный экономист и социолог как М.Кастельс . Его тезис состоит в том, что в информационном (иначе – «постэкономическом») обществе экономические процессы имеют не только иную природу, но и иную направленность. По его мнению, и территориальная организация информационного общества, включая и организацию расселения, претерпит самые существенные изменения в сравнении с обществом индустриальным.

В результате географам предстоит взяться за решение несравненно более сложных задач, нежели те, с которыми они сталкивались ранее: искать не просто аттракторы, т.е. области притяжения изучаемых процессов, а странные аттракторы , представляющие собой сложные непериодические решения. Такая задача едва ли может быть решена силами только самих географов, без сотрудничества с физиками и математиками, по крайней мере до тех пор, пока не вырастет поколение географов, которое со студенческой скамьи будет осваивать математический аппарат синергетики. Наша задача – создать концептуальные основы для такого сотрудничества, разработав операциональные теории, позволяющие применить к их развитию сначала понятийный, а затем – и математический аппарат синергетики.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Притягивающее множество неустойчивых траекторийв фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а.,в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривойили поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна(см. Фракталы). Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D.Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенныев окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, Бифуркация, Предельный цикл). ТраекторииС. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемыев диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характернылишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых большедвух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система- трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа(1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельныйцикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественнойтеории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристики свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительнодаже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, Пример . Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшими канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. автоколебания, схема, 2а и определяющая несколько усложнённый генераторВан-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. б. Пока ток I в контуре и напряжение на сетке . малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на колебания вконтуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этомчерез туннельный диод течёт ток I , а напряжение на нём определяетсяветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстротапереключения связана с малостью ёмкости С 1) - скачкомустанавливается напряжение V m . Затем ток через туннельныйдиод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на . Врезультате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощаетпоступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (Прирассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной;это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваютсянелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый сигнал U(t )представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний;окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератораВан-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-ампернаяхарактеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I m , z= V/V m ,

- нормированнаяхарактеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» затоком; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В[х = f(z ), f"(z) >0 ], отвечающих участкам и характеристикиДиода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащиена поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и вконце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срывточки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающейточки) по линии быстрых движений на поверхность В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадаетв окрестность состояния равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис.5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описываетраскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующейнарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенногопунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значенияхвремени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Всетраектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования)сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленнойна рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайногосигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, еслиизвестно распределение вероятности состояний системы. Однако получить (ииспользовать) это распределение для конкретных систем со С. а., чрезвычайносложно (хотя бы потому, что плотность распределения инвариантной вероятностноймеры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а.

где , нек-рый фиксированный параметр,- число n -мерных шаров диаметра ,покрывающих С. а. динамич. системы с n -мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, n, но может быть меньше п (n -мерные шарымогут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёточевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; дляотрезка длины L прямой лилии ,;для куска площади S двумерной поверхности ,и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивогопредельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. n -мерном фазовом пространствеповедение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающегобифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр.,f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связьмежду координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризацииотображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-гои j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x j+1 = f(x j). Возникшему устойчивому предельному циклуудвоенного периода отвечает двупериодич. траектория отображения f .При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечноповторяются, а бифуркац. значения, напр.,накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаумаимеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интерваламисодержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические(относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начинаяс нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает»,последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 ,2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору,

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбуханиеаттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра(скажем,)через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушениерегулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной(регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Этакартина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой(также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазовогопространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива(т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траекториичерез нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельногоцикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратрисаседлового цикла была вложена в фазовое пространство достаточно сложнымгеом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась»,содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то естьпереходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попаданияв окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаютсятакже переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических(в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкостьи разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются всистемах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, Турбулентность).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теориюколебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная истохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., РейманА. М., Размерность и энтропия в многомерных системах, в кн.: Нелинейныеволны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, В. С. Афраймович, М.

• - странствующий, находящийся в чужой стране...

  Краткий церковнославянский словарь

• - см. Синергетика...

  Большая психологическая энциклопедия

• - стра́нный ст.-слав. страньнъ ξένος . От предыдущего...

  Этимологический словарь Фасмера

• - Заимствование из старославянского, где образовано от страна, имевшего в древнерусском языке значение "чужая страна, чужой народ"...

  Этимологический словарь русского языка Крылова

• - A/C пр см. _Приложение II стра́нен странна́ стра́нно стра́нны странне́е́ 259 см. _Приложение II - Зачем же так неблагосклонно Вы отзываетесь о нем? За то ль, что мы неугомонно Хлопочем, судим обо всем <...>...

  Словарь ударений русского языка

• - кр.ф. стра/нен, странна/, стра/нно, стра/нны...

  Орфографический словарь русского языка

• - СТРА́ННЫЙ, -ая, -ое; -анен, -анна, -анно. Необычный, непонятный, вызывающий недоумение. С. характер. С. вид. Мне странно его поведение. Странно, что он не звонит...

  Толковый словарь Ожегова

• - СТРА́ННЫЙ, странная, странное; странен, странна, странно. 1. Необычный, трудно объяснимый, вызывающий недоумение. Странная манера говорить. Странные взгляды. «Были странны безмолвные встречи...

  Толковый словарь Ушакова

• Толковый словарь Ефремовой

• - стра́нный I прил. Необычный, вызывающий недоумение. II прил. устар. Находящийся в пути; странствующий, странний...

  Толковый словарь Ефремовой

• - стра́нный прил., употр. очень часто Морфология: стра́нен, странна́, стра́нно, стра́нны; стра́ннее; нар. стра́нно 1...

  Толковый словарь Дмитриева

• - стр"анный; кратк. форма -"анен, -анн"а, -"...

  Русский орфографический словарь

• - Заимств. из ст.-сл. яз. Суф. производное от страна в значении «чужая страна, народ», в др.-рус. яз. это значение еще известно. Первоначально - «чуже», «чужой», затем - «необыкновенный, непостижимый, »...

  Этимологический словарь русского языка

• - @font-face {font-family: "ChurchArial"; src: url;} span {font-size:17px;font-weight:normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;}  прил. - странствующий, странник; посторонний, чужой; удивительный...

  Словарь церковнославянского языка

• - ...

  Формы слова

• - точка...

  Словарь синонимов

"СТРАННЫЙ АТТРАКТОР" в книгах

Странный вкус

автора

Странный вкус

Из книги Маленькие труженики гор [Муравьи] автора Мариковский Павел Иустинович

Странный вкус Но попробовать ли содержать гнездо желтых лазиусов в неволе? Поздней осенью я вешаю возле нескольких гнезд на кусты кусочки ваты. А когда приходит зима, мы отправляемся на лыжах за обитателями подземных жилищ.Быстро отгребаем в сторону снег, раскапываем

Странный заповедник

Из книги Мои путешествия. Следующие 10 лет автора Конюхов Фёдор Филиппович

Странный заповедник 24 апреля 2002 года. Ацан-Худук (Калмыкия, Яшкульский район) – Тройник (Калмыкия, Яшкульский район) – 31 кмКараван на территории заповедника «Черные земли». Он охватывает три региона России – Республику Калмыкию, Астраханскую область и Республику

СТРАННЫЙ ДОМ

Из книги Рыжий дьявол автора Дёмин Михаил

СТРАННЫЙ ДОМ Оставшись один, я разложил на столе бумаги. Присел, закурил. И задумался.Я перебрал в памяти события дня, пытался разобраться в них. И вдруг, непонятно почему, передо мною возникло видение детства. Я не звал это воспоминание, оно пришло само… Наша память - как

Странный сон

Из книги Генерал Дима. Карьера. Тюрьма. Любовь автора Якубовская Ирина Павловна

Странный сон …Этот сон я не забуду никогда. Он приснился мне 13 марта, с четверга на пятницу. Будто бы Дима был на даче, а я одна находилась дома. Мне вдруг захотелось сделать ему сюрприз - обрадовать своим неожиданным приездом. Подъезжая к даче, я увидела ярко освещенные

СТРАННЫЙ МИР

Из книги Таков мой век автора Шаховская Зинаида Алексеевна

СТРАННЫЙ МИР Господа, представление окончено. Добродетель, простите, порок наказан, а добродетель… Но где же

ОБЪЕКТ КАК СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Из книги Прозрачность зла автора Бодрийар Жан

ОБЪЕКТ КАК СТРАННЫЙ АТТРАКТОР В конечном итоге образы всего того, что нам чуждо, воплощаются в единственном образе - в образе Объекта. Неумолимость и ирредентизм объекта - единственное, что остается.Даже на горизонте науки Объект предстает как все более неуловимый,

Что такое «Великий Аттрактор»?

Из книги 100 великих загадок астрономии автора Волков Александр Викторович

Что такое «Великий Аттрактор»? Вплоть до начала ХХ века нашу Галактику считали уникальным объектом. Сегодня мы знаем, что в доступной нашему наблюдению части Вселенной насчитывается, пожалуй, не менее 125 миллиардов галактик. В каждой из них – миллиарды или триллионы

Великий Аттрактор, или сверхпритяжение

Из книги 100 великих тайн Вселенной автора Бернацкий Анатолий

Великий Аттрактор, или сверхпритяжение В начале последнего десятилетия минувшего столетия астрономы установили, что галактики разлетаются в космическом пространстве не поодиночке, а огромными скоплениями, как стаи птиц во время перелетов. Так, Млечный Путь вместе с

«Странный» дар

Из книги Простодушное чтение автора Костырко Сергей Павлович

«Странный» дар Сергей Довлатов. «Речь без повода… или Колонки редактора». М.: Махаон, 2006. При всей очевидности литературного дара Сергея Довлатова дар этот странный. Критик Елисеев для разбора одного из его рассказов вынужден был привлечь контекст ни больше ни меньше

СТРАННЫЙ ПЁС

Из книги Неугомонный Носир автора Ортыков Болта

СТРАННЫЙ ПЁС Наш кишлак Чинор лежит у подножия высоких гор. «Чинор» по-таджикски значит «чинара». Кишлак назвали так, наверно, потому, что в самом его центре, рядом с правлением колхоза, растёт высокая густая чинара. Её видно далеко-далеко! В тени чинары - чайхана и

Похмельный аттрактор

Из книги Критика нечистого разума автора Силаев Александр Юрьевич

Похмельный аттрактор Интересен процесс возвращения в себя с бодуна: первой восстанавливается функция мышления-принятия решения, потом письма, и лишь потом чтения (писать уже нормально, а читать в лом). Но это у меня лично. Это чего-то значит, или так?И банальное: если уж

1. Странный мир

Из книги Фолкнер - Очерк творчества автора Анастасьев Николай Аркадьевич

1. Странный мир Открывая едва ли не любой из фолкнеровских романов, сразу ощущаешь, что попал в страну обширную, значительную, богатую, в страну, живущую предельно напряженной жизнью, страну, проблемы которой значение имеют - исключительное.Но расшифровать законы этого

«Странный я, странный»

Из книги Живое предание XX века. О святых и подвижниках нашего времени автора Никифорова Александра Юрьевна

«Странный я, странный» Зураб Варази: За несколько дней до кончины отца Гавриила я принял решение взять у него кровь для анализов. Когда я попросил его об этом, батюшка ответил: «Зачем тебе кровь?» Я объяснил, что необходимо проверить гемоглобин, функцию печени и т. д. «Не

Странный

Из книги Дочь генерала автора Петров Александр Петрович

Странный Старушка Харина захватила Наташу в плен. Так она сама объявила. Наташа помогала няне по хозяйству и выслушивала старушку, которая никак не могла наговориться «напоследок». Сергей что-то где-то прибил, выправил и направился в храм.Только прикрыл за собой калитку,

(к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество .

Классификация [ | ]

Аттракторы классифицируют по:

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца , Плыкина , соленоид Смейла-Вильямса , гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения [ | ]

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна : инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения [ | ]

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» - иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор [ | ]

Пусть для динамической системы задана область U {\displaystyle U} , которая переводится строго внутрь себя динамикой:

f (U) ¯ ⊂ U {\displaystyle {\overline {f(U)}}\subset U}

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

A m a x = ⋂ n = 1 ∞ f n (U) . {\displaystyle A_{max}=\bigcap _{n=1}^{\infty }f^{n}(U).}

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными .

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно - скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания - то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора [ | ]

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами - это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество [ | ]

Точка x динамической системы называется блуждающей , если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

∀ n > 0 f n (U) ⋂ U = ∅ . {\displaystyle \forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .}

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор [ | ]

Статистический аттрактор A s t a t {\displaystyle A_{stat}} , в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} для почти любой (в смысле меры Лебега) точки x {\displaystyle x} выполнено

1 N # { j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U } → 1 , N → ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\in U\}\to 1,\quad N\to \infty .}

Минимальный аттрактор [ | ]

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество A m i n {\displaystyle A_{min}} , в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} выполнено

1 N ∑ j = 0 N − 1 (f ∗ j (L e b)) (U) → 1 , N → ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\to 1,\quad N\to \infty .}

Примеры несовпадений [ | ]

Локальность, минимальность и глобальность [ | ]

Регулярные и странные аттракторы [ | ]

Регулярные аттракторы [ | ]

Притягивающая неподвижная точка [ | ]

(пример: маятник с трением)

Странные аттракторы [ | ]

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор - это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . В отличие от аттрактора, не является многообразием , то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна . Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция .

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической : прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом , отличая его от стохастического хаоса , возникающего в. Это явление также называют эффектом бабочки , подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки обыкновенно не создает торнадо, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать - это изменить порядок, в котором происходят эти явления.» И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца .

Именные примеры [ | ]

Аттрактор Лоренца [ | ]

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

x ˙ = σ (y − x) {\displaystyle {\dot {x}}=\sigma (y-x)} y ˙ = x (r − z) − y {\displaystyle {\dot {y}}=x(r-z)-y} z ˙ = x y − b z {\displaystyle {\dot {z}}=xy-bz}

Соленоид Смейла-Вильямса [ | ]

Соленоид Смейла-Вильямса - пример обратимой динамической системы , аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории , и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория .

Аттрактор Плыкина [ | ]

См. Синергетика. Большой психологический словарь. М.: Прайм ЕВРОЗНАК. Под ред. Б.Г. Мещерякова, акад. В.П. Зинченко. 2003 … Большая психологическая энциклопедия

Аттрактор - потенциальное состояние системы, к которому она эволюционирует. По Князевой: конечная область неминуемого схождения фазовых траекторий движения сложной системы. В качестве аттрактора может выступать или точка (устойчивый фокус), или иное более… … Словарь-справочник по философии для студентов лечебного, педиатрического и стоматологического факультетов

аттрактор - 3.1.1 аттрактор: Фактор саморазвития системы, влияющий на ее самоорганизацию и способность к взаимосодействию ее основных частей. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Аттрактор - (от лат. attraho притягиваю к себе) некоторая область, к которой притягиваются (сходятся) все возможные траектории движения систем … Начала современного естествознания

аттрактор - Syn: точка притяжения … Тезаурус русской деловой лексики

АТТРАКТОР - структура (функция), задающая (определяющая) устойчивое состояние любой системы. (См. синергетика, нелинейное мышление) … Философия науки: Словарь основных терминов

Аттрактор - (лат. притягиваю к себе) точка или множество точек (замкнутая кривая), к которому стремятся параметры состояния диссипативной системы, конечное состояние диссипативной системы (см. Система диссипативная) … Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

Аттрактор Рёсслера хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера … Википедия

Пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла. Конструкция Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора,… … Википедия

Книги

• Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике , Кузнецов С.П.. Книга посвящена рассмотрению возможности реализации в физических системах структурно устойчивого хаоса, обусловленного присутствием однородно гиперболическихаттракторов, таких как соленоид…
• Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике , С. П. Кузнецов. Книга посвящена рассмотрению возможности реализации в физических системах структурно устойчивого хаоса, обусловленного присутствием однородно гиперболическихаттракторов, таких как соленоид…