Общий вид матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Определение 1. Матрицей А размера m  n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, или

Определение 2. Две матрицы
и
одного размера называютсяравными , если они совпадают поэлементно, т.е. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.

Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.

Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.

Виды матриц: квадратная (размера 33) -
,

прямоугольная (размера 25) -
,

диагональная -
, единичная -
, нулевая -
,

матрица-строка -
, матрица-столбец -.

Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы:
.

Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .

1.2. Операции над матрицами.

1 0 . Суммой двух матриц
и
одинакового размера называется матрица С = (с ij), элементы которой определяются равенством с ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).

2 0 . Произведением матрицы
на число  называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij = (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции умножения матрицы на число.

(А) = ()А (ассоциативность умножения);

(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);

(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Определение 7. Линейной комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение видаА+В, где  и  - произвольные числа.

3 0 . Произведением А  В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

АВ  ВА (не коммутативность).

Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:

Перемена местами двух строк (столбцов).

Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.

Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).

Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если

,
.

,
,

Пример 1.2. Найти произведение матриц
, если

Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу
, где

В результате получим
.

Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.

Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C,

Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и n - столбцов.

Равенство матриц:

Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.

Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.

Виды матриц:

Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.

Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов.

Матрица строка: матрица порядка 1*n (m=1) имеет вид a11,a12,a13 и называется матрицей строки.

Матрица столбец:………….

Диагональная: диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу, то есть состоящая из элементов а11,а22……-называется главной диагональю. (опред: квадратная матрица все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Единичная: диагональная матрица называется единичной, если все элементы расположены на главной диагонали и равны 1.

Верхняя треугольная: А=||aij|| называется верхней треугольной матрицей, если aij=0. При условии i>j.

Нижняя треугольная: aij=0. i

Нулевая: это матрица Эл-ты которой равны 0.

Операции над матрицами.

1.Транспонирование.

2.Умножение матрицы на число.

3.Сложение матриц.

4.Умножение матриц.

Основные св-ва действия над матрицами.

1.A+B=B+A (коммутативность)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативность)

3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивность)

4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)

6.AB≠BA (отсутствует комму.)

7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –выполняется, если опред. Произведений матриц выполняется.

8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.)

(B+C)A=BA+CA (дистриб.)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Определитель квадратной матрицы – определение и его свойства. Разложение определителя по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей.

Если матрица А имеет порядок m>1, то определитель этой матрицы – число.

Алгебраическим дополнением Aij эл-та aij матрицы А называется минор Mij, умноженный на число

ТЕОРЕМА1: Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменится при её транспонировании.

2. При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак, а абсолютная величина его не меняется.

3. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0.

4.При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

5. Если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из 0, то определитель этой матрицы равен 0.

6. Если все элементы i-ой строки (столбца) матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то её определитель можно представить в виде суммы определителей двух матриц.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответственно эл-ты другого столбца (строки) предварительно умнож. на одно и того же число.

8.Сумма произвольных элементов какого либо столбца (строки) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другого столбца (строки) равна 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Способы вычисления определителя:

1. По определению или теореме 1.

2. Приведение к треугольному виду.

Определение и свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения.

Определение: Квадратная матрица порядка n, называется обратной к матрице А того же порядка и обозначается

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от 0.

Свойства обратной матрицы:

1. Единственность: для данной матрицы А её обратная – единственная.

2. определитель матрицы

3. Операция взятия транспонирования и взятие матрицы обратной.

Матричные уравнения:

Пусть А и В две квадратные матрицы того же порядка.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Понятие линейной зависимости и независимости столбцов матрицы. Свойства линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов.

Столбцы А1,А2…Аn называются линейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.

Столбцы А1,А2…Аn называются линейно независимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты С(l) равны 0 и не тривиальной в противном случае.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2.для того чтобы столбцы были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь столбец являлся линейной комбинацией других столбцов.

Пусть 1 из столбцов https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">является линейной комбинацией других столбцов.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> линейно зависимы, то и все столбцы линейно зависимы.

4. Если система столбцов линейно независима, то любая её подсистема так же линейно независима.

(Всё что сказано относительно столбцов, справедливо и для строк).

Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А.

Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0.

Базисный минор.

Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора.

Метод окаймляющих миноров: - Выбираем не нулевой элемент матрицы А (Если такого элемента не существует, то ранг А =0)

Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1).

Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора.

Способы вычисления:

1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка..gif" width="40" height="22">r+1 Mr+1=0.

2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

Перестановка двух строк (столбцов).

Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0.

Прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число.

Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.

Теорема о базисном миноре:

Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя:

Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.

Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А.

Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения.

10 вопрос.

Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений.

A=a21 a22…..a2n

Метод базисного минора:

Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src=">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение.

Однородные системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

AX=0 – однородная система.

АХ =В – неоднородная система.

Однородные системы всегда совместны.

Х1 =х2 =..=хn =0

Теорема 1.

Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Теорема 2.

Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0)

Свойства решений однородных систем.

Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы.

α1C1 +α2C2 ; α1 и α2– некоторые числа.

А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(А C1) + α2(АC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (АC2) = 0

Для неоднородной системы это свойство не имеет места.

Фундаментальная система решений.

Теорема 3.

Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений.

Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0) <= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений.

Теорема 4.

Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы.

С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Если r

12 вопрос.

Общее решение неоднородной системы.

Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное)

АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0

(АСоо) +АСч = АСч = В, т. к. (АСоо) = 0

Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч

Метод Гаусса.

Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные.

Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого).

1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем:

Получаем систему равносильную исходной.

2)исключаем переменную х2

3) исключаем переменную х3 и т. д.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага.

Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn

Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю.

Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание.

Возможны два случая:

а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т. е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид).

б)r

Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса.

О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов.

13 вопрос.

Подобные матрицы.

Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/

Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS.

Свойства подобных матриц.

1)Матрица А подобна сама себе. (А~А)

Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А

2)Если А~В, то В~А

Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С

Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1

4)Определители подобных матриц равны.

Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB.

5)Ранги подобных матриц совпадают.

Собственные векторы и собственные значения матриц.

Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А.

Свойства собственных векторов.

1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением.

АХ= λ Х; Х≠0

α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ)

2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк.

Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг:

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А.

С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Умножаем на λn+1 и вычтем

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

Характеристическое уравнение.

А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А.

Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А - λЕ)Х = 0

Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А - XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение.

Утверждение!

Характеристические уравнения подобных матриц совпадают.

det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ)

Характеристический многочлен.

det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А.

Следствие:

1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают.

Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны.

Для матрицы А

Для матрицы В

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А.

Следствие.

Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема.

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений.

1)составляем характеристическое уравнение

2)находим корни уравнений

3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора.

λi (A-λi E)X = 0

4)находим фундаментальную систему решений

x1,x2..xn-r, где r - ранг характеристической матрицы.

r =Rg(A - λi E)

5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде:

X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, где С12 +С22 +… С2n ≠0

6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду.

7)находим Ag

Ag = S-1AS S=

15 вопрос.

Базис прямой, плоскости, пространства.

DIV_ADBLOCK371">

Модулем вектора называется его длина, то есть расстояние между А и В (││, ││). Модуль вектора равен нулю, тогда, когда этот вектор нулевой (│ō│=0)

4.Орт вектора.

Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице.

Равные вектора имеют равные орты.

5.Угол между двумя векторами.

Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами.

Сложение векторов. Умножение вектора на число.

1)Сложение двух векторов

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2)Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет:

а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра.

б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен.

λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Свойства линейных операций над векторами.

1.Закон коммунитативности.

2. Закон ассоциативности.

3. Сложение с нулем.

а(вектор)+ō= а(вектор)

4.Сложение с противоположным.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7.Закон дистрибутивности.

Выражение вектора через его модуль и орт.

Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом.

Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.

Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора.

Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов.

Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация.

Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов:

1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов.

3)если часть векторов из системы а1(вектор), а2(вектор)… ак(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы.

4)если все вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Линейные операции в координатах.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

Скалярное произведение 2-х векторов – это число равное произведению векторов на косинус угла между ними.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0.

4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

При выполнении условия () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям:

3. – правая

Свойства векторного произведения:

4. Векторное произведение координатных ортов

Ортонормированый базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Если - это ортонормированный базис, то

DIV_ADBLOCK375">

Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение 2-х прямых. Расстояние от точки до прямой линии. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

1. Часный случай расположения 2-х прямых на плоскости.

1)- уравнение прямой параллельной оси ОХ

2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ

2. Взамное расположение 2-х прямых.

Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых

А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид:

Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие:

B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие:

3. Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности.

Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Если , то прямые перпендикулярны.

24 вопрос.

Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

1. Условие комплонарности вектора и плоскости.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безымянный4.jpg" width="111" height="39">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безымянный5.jpg" width="88" height="57">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Если , то плоскости перпендикулярны.

25 вопрос.

Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторное уравнение прямой в пространстве.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Каноническое уравнение прямое.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безымянный3.jpg" width="56" height="51">

28 вопрос.

Эллипс. Вывод Канонического уравнения эллипса. Форма. Свойства

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных расстояний, называемых фокусами есть данное число 2a, большее чем расстояние 2c между фокусами.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=

на рис.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ур-е касательной к эллипсу

DIV_ADBLOCK378">

Каноническое уравнение гиперболы

Форма и св-ва

y=±b/a умножить на корень из (x2-a2)

Ось симметрии гиперболы - её оси

Отрезок 2a - действительная ось гиперболы

Эксентриситет e=2c/2a=c/a

Если b=a получается равнобокая гипербола

Ассимтотой - называется прямая, если при неограниченном удалении точки M1 по кривой расстояние от точки до прямой стремится к нулю.

lim d=0 при x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

касательная гиперболы

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

парабола - геометрическое место точек, равноудаленное от точки, названной фокусом и данной прямой, названной директриссой

Каноническое уравнение параболы

свойства

ось симметрии параболы проходит через её фокус и перпендиукулярна директрисе

если вращать параболу получится эллиптический параболоид

все параболы подобны

вопрос 30. Исследование уравнения общего вида кривой второго порядка.

Тип кривой опр. при старших членах A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->кривая параболического типа

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Если Е=0 => Ax2+2Dx+F=0

то x1=x2 - сливается в одну

x1≠x2 - прямые параллельны Оу

x1≠x2 и корни мнимые, не имеет геометричекого образа

С≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Вывод: кривая параболического типа это либо парабола, либо 2 параллельные прямые, или мнимые, или в одну сливаются.

2.AC>0 -> кривая эллиптического типа

Дополняя до полного квадрата исходное уравнение преобразуем к каноническому, тогда получим случаи

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - эллипс

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - мнимый эллипс

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка с координатой x0 y0

Вывод: кривая эл. типа ето либо эллипс, либо мнимый, либо точка

3. АС<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 гипербола, действительная ось параллельна Ох

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 гипербола, действительная ось параллельна Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ур-е двух прямых

Вывод: кривая гиперболического типа это либо гипербола, либо две прямые

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица , которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица , это любая прямоугольная таблица , составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

(2.1*)

Определение 2 . Если в выражении (1) m = n , то говорят о квадратной матрице , а если , то о прямоугольной .

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант , который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D E =1 ; .

Определение 3 . Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной .

Определение 4 . Если detA = 0 , то матрица A называется вырожденной или особенной .

Определение 5 . Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е .

Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы, стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6 . Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n - го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A .

Пример . Выписать три минора второго порядка матрицы

Операции над матрицами и их свойства.

Понятие определителя второго и третьего порядков. Свойства определителей и их вычисление.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов :

Размерностью матрицы называется совокупность двух чисел, состоящая из числа её строк m и числа столбцов n.

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Операции над матрицами : транспонирование матрицы, умножение (деление) матрицы на число, сложение и вычитание, умножение матрицы на матрицу.

Переход от матрицы А к матрице А т, строками которой являются столбцы, а столбцами —строки матрицы А, называется транспонированием матрицы А.

Пример: А= , А т = .

Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример: 2А= 2· = .

Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=А В, элементы которой равны с ij = a ij b ij для всех i и j .

Пример: А = ; В = . А+В= = .

Произведением матрицы А m n на матрицу В n k называется матрица С m k , каждый элемент которой c ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Чтобы можно было умножить матрицу на матрицу, они должны быть согласованными для умножения, а именно число столбцов в первой матрице должно быть равно числу строк во второй матрице.

Пример: А= и В = .

А·В—невозможно, т.к. они не согласованы.

В·А= . = = .

Свойства операции умножения матриц .

1. Если матрица А имеет размерность m n, а матрица В—размерность n k , то произведение А·В существует.

Произведение В·А может существовать, только когда m=k.

2.Умножение матриц не коммутативно, т.е. А·В не всегда равно В·А даже если определены оба произведения. Однако если соотношение А·В= В·А выполняется, то матрицы А и В называются перестановочными .

Пример . Вычислить .

Минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученный вычёркиванием -ой строки -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется .

Теорема разложения Лапласа :

Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример . Вычислить .

Решение. .

Свойства определителей n-го порядка :

1) Величина определителя не изменится, если строки и столбца поменять местами.

2) Если определитель содержит строку (столбец) из одних нулей, то он равен нулю.

3) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

4) Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

6) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки (столбцы), кроме упомянутой, такие же, как и в данном определителе, а в упомянутой строке (столбце) первого определителя стоят первые слагаемые, второго - вторые.

7) Если в определителе две строки (столбца) пропорциональны, то он равен нулю.

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

9) Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Метод накопления нулей вычисления определителей основан на свойствах определителей.

Пример . Вычислить .

Решение. Вычтем из первой строки удвоенную третью, далее используем теорему разложения по первому столбцу.

~ .

Контрольные вопросы (ОК-1, ОК-2, ОК-11,ПК-1):

1. Что называется определителем второго порядка?

2. Какие основные свойства определителей?

3. Что называется минором элемента?

4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

5. Как разложить определитель третьего порядка по элементам какой-либо строки (столбца)?

6. Чему равна сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца), определителя по алгебраическим дополнениям соответствующих элементов другой строки (или столбца)?

7. В чём заключается правило треугольников?

8. Как вычисляются определители высших порядков способом понижения порядка

10. Какая матрица называется квадратной? Нулевой? Что такое матрица-строка, матрица-столбец?

11. Какие матрицы называются равными?

12. Дать определения операций сложения, умножения матриц, умно-жения матрицы на число

13. Каким условиям должны удовлетворять размеры матриц при сло-жении, умножении?

14. В чём заключаются свойства алгебраических операций: коммута-тивность, ассоциативность, дистрибутивность ? Какие из них выпол-няются для матриц при сложении, умножении, а какие нет?

15. Что такое обратная матрица? Для каких матриц она определена?

16. Сформулировать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

17. Сформулировать лемму о транспонировании произведения мат-риц.

Практические задания общие (ОК-1, ОК-2, ОК-11,ПК-1):

№1. Найти сумму и разность матриц А и В:

а)